請問 Pascal Triangle 係中學咩時候學架﹖

中四 a.maths

楊輝三角形

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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Yanghui_triangle.gif/200px-Yanghui_triangle.gif



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
楊輝繪畫的「古法七乘方圖」

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

楊輝三角形的前6行
楊輝三角形，又稱賈憲三角形、帕斯卡三角形、巴斯卡三角形，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列。
楊輝三角形同時對應於二項式定理的係數。
n次的二項式係數對應楊輝三角形的n + 1行。
例如
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/d/4/2d4ed0eccf4b30a356668a436fb1620b.png

2次的二項式正好對應帕斯卡三角形第3行係數 1 2 1。





目錄[隱藏]

1 性質
2 歷史
3 一個數在楊輝三角形出現的次數

3.1 參考



[編輯] 性質

每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大，然後變小，回到1。
第n行的數字個數為n個。
第n行數字和為2n − 1。
每個數字等於上一行的左右兩個數字之和。(因為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/6/d/26d3ad311268aea0d2187bb85aff853d.png
)。可用此性質寫出整個帕斯卡三角形。
將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+2行第5個數……連成一線，這些數的和是第2n個斐波那契數。將第2n行第2個數，跟第2n+1行第4個數、第2n+2行第6個數……這些數之和是第2n-1個斐波那契數。
第n行的第1個數為1，第二個數為1×n，第三個數為1×n×（n-1）/2，第四個數為1×n×（n-1）/2×（n-2）/3…依此類推。

[編輯] 歷史
歷史上有關這個三角形的最早記載在古印度。印度數學家賓伽羅在其梵語詩集（約450年）中，提到這個「須彌山之樓梯」。他還指出了斐波那契數列和這個三角形的關係。
波斯數學家Karaji和天文學家兼詩人Omar Khayyám都發現了這個三角形，而且Karaji還知道可以藉助這個三角形找n次根，和它跟二項式的關係。在伊朗，這個三角形稱為「Khayyám三角形」。
義大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念發現一元三次方程解的塔塔利亞。
13世紀中國宋代數學家楊輝在《詳解九章算術》里討論這種形式的數表，並說明此表引自賈憲的《釋鎖算術》，並繪畫了「古法七椉方圖」。
布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些機率論上的問題，影響面廣泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亞伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。
歷史上曾經獨立繪製過這種圖表的數學家：

楊輝 南宋 1261《詳解九章演算法》記載之功
朱世傑 元代 1299《四元玉鑒》級數求和公式
阿爾·卡西 阿拉伯 1427《算術的鑰匙》
阿皮亞納斯 德國 1527
施蒂費爾 德國 1544《綜合算術》二項式展開式係數
薛貝爾 法國 1545
B·帕斯卡 法國 1654《論算術三角形》

[編輯] 一個數在楊輝三角形出現的次數
由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小的數而又大於1在楊輝三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

除了1之外，所有正整數都出現有限次。
只有2出現剛好1次。
6,20,70等出現3次。
出現2次和4次的數很多。
還未能找到出現剛好5次的數。
120,210,1540等出現剛好6次。（OEIS:A098565）因為丟番圖方程


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/3/8/03862af4ff4a8c7392babb8d00846ef2.png

有無窮個解[1]，所以出現至少6次的數有無窮個多。其解答是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/6/2/462e3ff15167664d11c8028b715a5369.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/4/9/b49f31aa384ad944cb77db4d2816562b.png

其中Fn表示第n個斐波那契數（F1 = F2 = 1）。


二項式定理

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二項式定理，又稱牛頓二項式定理。它由艾薩克·牛頓於1664、65年期間提出。定理指出：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/8/c/a8c8783e0cb8d5a8c3b590a0021cfd0d.png
（二項式係數）。
等號右邊的多項式叫做二項展開式。
二項展開式的通項即為：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/f/4/4f43d723ce4d7ca00bf9eda6d9f2415e.png

其i項係數可表示為:
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/a/4/fa41c2be56df7c3de78137b9b9b2ee50.png
，即n取i的組合數目。
因此係數亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

[編輯] 證明
數學歸納法：
當n = 1，


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/c/7/2c7a3d970c9ff450135c3e40a1463592.png
.
設二項展開式在n = m時成立。若n = m + 1，

(a + b)m + 1 = a(a + b)m + b(a + b)m



=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/f/9/6f955838fbfaf9940f089a379dec0d86.png




=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/8/e/e8e9f781d26f74f308f669a79e332715.png
將a、b乘入



=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/2/e/42e108b3b43a8552cb62ef9606ea2be7.png
取出k = 0的項



=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/6/7/3677e23ef7cc473436258ab324196fc4.png
設j = k − 1



=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/2/1/e216fa6cec1b69d46e0828ee7d0879ae.png
取出k = m + 1項



=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/f/5/2f576a5e5860a26874f50322139b30d5.png
兩者加起



=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/e/6/2e6d9babc772e0840fdf7565f2713859.png
套用帕斯卡法則



=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/4/2/942d0bc27dc3adc7070c234b93a8a569.png


[編輯] 應用

開高次冪的計算；
估算高次冪的值；
證明一些恆等式和關於自然數的命題；
牛頓用它作為基石發明出了微積分。
取自"http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86&variant=zh-hk"