ｌｏｇ在日常生活的用途

上面幾位人兄對log有很詳細的講解
但似乎"日常生活"有一點距離

1.
計算地震
M = log A + K
M就是所謂的黎克特制多少級地震
A是地該地震最強時的震幅
K是一個常數(Constant)

先來一個例子:
黎克特制7級地震,究竟是黎克特制5級地震的多少倍呢?
先假設黎克特制7級地震的強度為a,5級地震的強度為b

(即是找a÷b=?)
7 = log a + K-------------------(1)
5 = log b + K-------------------(2)
(1)-(2) : 2 = log a - log b
2 = log (a÷b)
a÷b = 100

數字上只是相差2,強度卻相差100倍

2.聲音
D = log (I÷I0)
D是以dB(分貝)為單位
I是聲音的強度
I0是常數

其實,每逢數值上+1,威力就會上升至十倍,不論是黎克特制還是分貝
這就是用log的特點

對數會有一個base~base是一個數字~log的意思是想知道一個數字是base的幾多次方~
如 你的example~你的log的base是10~所以log10就會等於1~log100就會等於2~
如果base是2~log2就會等於1~log4就會等於2
計數機只可以按出base是10的或者是e(natural log)的數值~~

10g ( 9o%地震 ) =10x9

對數

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在數學中，數 x 的(對於底數 b)對數是 by 的冪 y，使得 x = by。底數 b 的值一定不能是 0 也不能是 1 (在擴展到複數的復對數情況下不能是 1 的方根)，典型的是 10、e 或 2。底數 b 的對數通常寫為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/e/1/ce18ae4482bc97ae6b261b18392f18ae.png

當 x 和 b 進一步限製為正實數的時候，對數是一個唯一的實數。
例如，因為


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/2/7/2274527e066d022d2e0ed9d2bdcc52b8.png

我們可以得出


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/2/d/22d510a23d2dc8e9cdfead05878785ba.png

用日常語言說，81 的底數 3 的對數是 4。
對數函數
函數 logb(x) 依賴於 b 和 x 二者，但是術語對數函數在標準用法中用來稱呼形如 logb(x) 的函數，在其中底數 b 是固定的而只有一個參數 x。所以對每個底數 b 的值(必須是正數必須不是 1)只有一個對數函數。從這個角度看，底數 b 的對數函數是指數函數 bx 的反函數。詞語「對數」經常用來稱呼對數函數自身和這個函數的一個特定值。
對數函數圖像和指數函數圖像關於直線y=x對稱（互為反函數）。
對數函數的性質有：

都過(1，0)點；
定義域為R+，值域為R；
b＞1，在(0，+∞)上是增函數；0＜b＜1時，在(0，+∞)上是減函數。

整數和非整數冪
如果 n 是正整數， bn 表示等於 b 的 n 個因子的乘積:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/9/c/e9ccd83011911d88740633b7f7063566.png

但是，如果 b 是不等於 1 的正實數，這個定義可以擴展到在一個域中的任何實數 n(參見冪)。類似的，對數函數可以定義於任何正實數。對於不等於 1 的每個正底數 b，有一個對數函數和一個指數函數，它們互為反函數。
對數可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發明電子電腦之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛的用於天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。

底數
最常用做底數的是 10、數學常數 e ≈ 2.71828... 和 2。當寫出不帶底數的「log」的時候，意圖要從上下文中確定:

自然對數 (loge, ln, log 或 Ln) 在數學分析中。
常用對數 (log10 或簡寫為 log; 有時為 lg) 在工程中和在使用對數表簡化計算的時候。
二進位對數 (log2; 有時寫為 lg 或 lb) 在資訊理論和音程中。
不確定對數 在底數無關緊要的時候，比如計算複雜性理論用大O符號描述演算法的漸進行為的時候。
為了避免混淆，在可能有歧義的時候最好指定底數。

換底數
儘管有很多有用的恆等式，對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數(通常是 loge 和 log10)的其他底數的對數。要使用其他底數 k 找到底數 b 的對數:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/d/7/ed78e6411e8234416a542913a0b9db2a.png

此外，這個結果蘊涵了所有對數函數(不管什麼底數)都是相互類似的。所以用計算器計算 16 的底數 2 的對數:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/b/c/7bcd55121de9d9cc7d8bc870780b62f4.png


對數的用途
對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數，所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函數中的一個。在等式 bn = x 中，b 可以從 x 的 n 次方根， n 從 x　的 b 底數的對數，x 從 b 的 n 次的冪來確定。參見對數恆等式得到掌控對數函數的一些規則。

簡便計算
對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數，就會使特定運算更容易:





數的運算
冪的運算
對數恆等式


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/6/d/66d6115b0b473ed6d4d9216d05e1a9b8.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/b/a/3baa44f4b9b1424fdfc4bd3cbdc7d919.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/8/7/f877980006644af90ca800cc9ef6166e.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/e/2/de25560f4185eaa7459c5da601bbff77.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/4/a/84a7071c4e8f6e2e93982835cae37c67.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/c/1/8c1076e5862c82ed9264b11085e3627a.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/f/c/ffc8ba2bd5a93d23b7d2c1da6b66d5bc.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/6/4/f641f81db2b94e69cc4daf89f729920b.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/e/a/3ea5d5618845a61e659af020cb23168a.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/3/4/53461f66c006c3895b99f26c37688dea.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/4/5/745ebc518b6bfdfc5b1341128c37cd9f.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/c/2/cc274be813e72c4f19a1eaf441bf51d2.png

這些關係使在兩個數上的這種運算更快，在乘法計算器出現之前正確的使用對數是基本技能。
log(ab) = log(a) + log(b) 等式是基本的(它有效的蘊涵了其他在域中的三個關係)，因為它描述了在這個域的加法群和乘法群之間的同構。

微積分
自然對數函數的導數是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/6/5/f65b3e8b30827a42efd0bf16f8a196c2.png

通過應用換底規則，其他底數的導數是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/f/0/3f017b8b1281b4a97c1fa3d27f248488.png

自然對數 ln(x) 的不定積分是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/3/9/2394452f5db8e0851c54d7fed0c9bcbd.png

而其他底數對數的不定積分是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/9/b/f9bc57d9d60beda31387aa5ab0edecf0.png


計算自然對數的級數
有一些級數用來計算自然對數。[1] 最簡單和低效的是:


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/9/c/f9c54c2960ad0bff06af523784a9ca4b.png

要得出它，開始於


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/6/5/f6593641989fc44feafebc5977915286.png

在兩邊積分得到


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/d/4/6d494ef7fc5df58c69c621f276c7551f.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/a/1/3a1e6fb38c80e6701a40c100d0dcf70e.png

設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/5/b/e5b686793102c98ef9d535a13057bb4e.png
，得到


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/7/c/57c2b88cde3b75495f082ce58a4feb9b.png

更有效率的級數是


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/8/f/48f817236a8c9e87e509cf2780471c11.png

對帶有正實部的 z。
推導：代換 -x 為 x，得到


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/1/a/a1acf1bf80cd45fd72ee701e53f96a68.png

做減法，得到


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/1/1/111edb000069df46bfed88fb6679220a.png

設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/7/0/b70cb9ce5bc56416cb64795d67aca752.png
，得到


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/b/0/6b05eb2167fb761f5e0e9312ac44ca36.png

例如，應用這個級數於


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/8/8/f886c251c3c0ed8b3f5ba05f6c431fd3.png

得到


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/2/7/a27da717eb59d4c4be69071571a25668.png

並因此


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/2/2/122d146ef74485f1e6412c875acc0f07.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/7/8/378f08c024fed960767644ef1c8626ac.png



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/9/a/e9a6d23bc183d93819c6a46b0c3f5401.png

在這裡我們在第一行的總和中提出了因數 1/10。
對於任何其他底數 b, 我們使用


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/a/e/2aee75ce620857750a7601684d518dc6.png


電腦
多數電腦語言把 log(x) 用做自然對數，而常用對數典型的指示為 log10(x)。參數和返回值典型的是浮點數據類型。
因為參數是浮點數，可以有用的做如下考慮:
浮點數值 x 被表示為尾數 m 和指數 n 所形成的


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/3/c/83cca4b6d9f45028175cab410b135081.png

因此


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/a/a/6aa6b54ef68f2a587edd8b654ba16283.png

所以，替代計算 ln(x)，我們計算對某個 m 的 ln(m) 使得 1 ≤ m ≤ 2。有在這個範圍內的 m 意味著值
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/2/a/32a6b9dd088d003c564242e6d3d70d1f.png
內。在任何一種情況下，這個級數都是更容易計算的。

一般化
普通的正實數的對數一般化為負數和複數參數，儘管它是多值函數，需要終止在分支點 0 上的分支切割，來製作一個普通函數或主分支。複數 z 的(底數 e)的對數是複數 ln(|z|) + i arg(z)，這裡的 |z| 是 z 的模，arg(z) 是輻角，而 i 是虛單位；詳情參見復對數。
離散對數是在有限群理論中的相關概念。它涉及到解方程 bn = x，這裡的 b 和 x 是這個群的元素，而 n 是指定在群運算上的冪。對於某些有限群，據信離散對數是非常難計算的，而離散指數非常容易。這種不對稱性可用於公開密鑰加密。
矩陣對數是矩陣指數的反函數。
對於不等於 1 的每個正數 b，函數 logb (x) 是從在乘法下的正實數的群到在加法下(所有)實數的群的同構。它們是唯一的連續的這種同構。對數函數可以擴展為在乘法下正實數的拓撲空間的哈爾測度。

歷史
對數方法是蘇格蘭的 Merchiston 男爵約翰·納皮爾1614年在書《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》中首次公開提出的，[2](Joost Bürgi 獨立的發現了對數；但直到 Napier 之後四年才發表)。這個方法對科學進步有所貢獻，特別是對天文學，使某些繁難的計算成為可能。在計算器和電腦發明之前，它持久的用於測量、航海、和其他實用數學分支中