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數理統計學
數理統計學﹝Mathematical Statistics﹞是研究大量隨機現象的統計規律性的數學學科。其核心問題是根據從總體中隨機抽出的樣本裏所獲得的信息來推斷總體的性質。


數理統計學的發展可分為三個時期。


20世紀以前，是數理統計學的萌芽時期。這個時期，總的說沒有超出描述性統計的範圍。歷史上最早出現的統計推斷可以看作是英國統計學家J‧格蘭特在1662年組織調查倫敦市死亡人數，從數量上去掌握集團的統計推斷，並發表專著《從自然和政治方面觀察死亡統計表》。因此，數理統計學可認為是格蘭特於17世紀60年代開創的。格蘭特對生命統計，保險統計及經濟統計進行數學的研究。這一學問曾被稱為「政治算術」。他由統計的結果發現人口出生率與死亡率相對穩定，於是提出「大數恒靜定律」，成為統計學的基本原理。


這個時期，在概率論方面有較多的發展，必然影響到數理統計學的發展。現在人們所理解的統計推斷程序，最早的就是貝斯方法。T‧貝斯在1763年發表的《論有關機遇問題的求解》對後世的統計思想影響很大。


19世紀初開始用概率模型進行數據分析。高斯和勒讓德首先把最小二乘法用於分析天文觀測中的誤差。20世紀以來，最小二乘法經過俄國數學家馬爾可夫和其他學者的工作，成為數理統計學中的一個重要方法。


19世紀中葉，許多數理統計學理論的新發展，幾乎直接或間接地由兩個人所推動。一個是比利時統計學家A‧凱特勒，一個是英國生物學家S‧E‧高爾頓。凱特勒的主要功績在於使統計方法獲得普遍應用。他對天文學、數學、物理學、生物學、社會統計學及氣象學等均有研究，將統計方法應用到上述研究範圍上去，並強調了正態分佈的用途，主張這一分佈狀態可以適用於許多學科範疇。高爾頓最早把統計方法應用於生物學。他曾到非洲考察和探險，搜集了大量資料，並投入很大精力鑽研資料中所隱藏的模型與關係。在1889年出版了《自然的遺傳》一書，引進了回歸直線、相關系數的概念，創立了回歸分析。此外，高爾頓還提出了中位數、四分位數、百分位數及四分位偏差等概念。


愛爾蘭經濟學家、統計學家E‧Y‧埃奇沃思關於方差和或然誤差的一系列文章也是這一時期的工作。


從19世紀末到第二次世界大戰結束，可認為是數理統計學發展的第二個時期。數理統計學蓬勃發展，日漸成熟，提出一些帶根本性的重要概念和方法，一些基本分支形成。


第二次世界大戰後是數理統計學發展的第三個時期。這一時期，數理統計學在應用和理論兩方面繼續深入發展。戰後，由於經濟和軍事技術上的飛速發展以及電子計算機的出現，使統計方法的應用範圍十分廣泛。如在工業上應用統計質量管理，並由此產生了抽樣檢驗、管理圖等方法，其它如試驗設計、多元分析、時間序列分析等也找到了不少新的應用領域。


電子計算機的廣泛應用，也對戰後數理統計學的發展產生了不小的影響。有了計算機，過去停留在理論上的方法得以付諸實施，而這又反過來促進人們提出和解決一些理論上的問題。

統計學
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一幅代表統計在教育作業上所呈現代表常態分配的 鐘型曲線的圖，並顯示了多種計分方式。統計學是數學的一門，用來搜集，分析，演繹以及呈現數據。它被廣泛的應用在各門學科之上，從物理和社會科學到人文科學，甚至被用來工商業及政府的情報決策之上。

給定一組數據，統計學可以摘要並且描述這份數據。這個用法稱作為描述統計學。另外，觀察者以數據的形態建立出一個用以解釋其隨機性和不確定性的數學模型，以之來推論研究中的步驟及母體，這種用法被稱做推論統計學。這兩種用法都可以被稱作為應用統計學。另外也有一個叫做數理統計學的學科專門用來討論這門科目背後的理論基礎。

統計學的英文(statistics) 是統計量的英文(statistic)的複數型態，後者代表經過統計演算法處理過的數據所獲得的結果。

目錄 [隱藏]
1 統計學的歷史
2 統計學的觀念
3 統計方法
3.1 測量的尺度
3.2 統計技術
4 延伸學科
5 參見



[編輯] 統計學的歷史
統計學的英文statistics最早是源於現代拉丁文statisticum collegium (國會)以及義大利文 statista (國民或政治家)。 德文Statistik，最早是由Gottfried Achenwall(1749)所使用,代表對國家的資料進行分析的學問，也就是「研究國家的科學」。在十九世紀統計學在廣泛的數據以及資料中探究其意義，並且由John Sinclair引進到英語世界。

因此，統計學的初衷是作為政府(通常是中央政府)以及管理階層的工具。它大量透過國家以及國際統計服務蒐集國家以及本土的資料。另依方面，普查則提供關母體的資訊。

統計背後牽涉到更多數學導向的領域，如機率，或是從經驗科學(特別在天文學)中獲得的經驗證據設定估計參數。在今日的世界裡統計已經被使用在不僅僅是國家或政府的事務，更延伸到商業，自然以及社會科學，醫療等甚至更多方面。

因為統計學擁有深厚的歷史以及廣泛的應用性，統計學通常不只被認為是數學所處理的對象，而是與數學本身的哲學定義與意義有密切的關聯。許多知名的大學擁有獨立的數理統計學系。統計學也在如心理學，教育以及公共衛生學系中被視為是一門主科。


[編輯] 統計學的觀念
為了將統計學應用到科學，工業以及社會問題上，我們由研究母體開始。這可能是一個國家的人民，石頭中的水晶，或者是某家特定工廠所生產的商品。一個母體甚至可能由許多次同樣的觀察程序所組成;由這種資料蒐集所組成的母體我們稱它叫時間序列。

為了實際的理由，我們選擇研究母體的子集代替研究母體的每一筆資料，這個子集稱做樣本。以某種經驗設計實驗所蒐集的樣本叫做資料。資料是統計分析的對象，並且被用做兩種相關的用途:描述和推論。

描述統計學處理有關敘述的問題:資料是否可以被有效的摘要，不論是以數學或是圖片表現，以用來代表母體的性質?基礎的數學描述包括了平均數和標準差。圖像的摘要則包含了許多種的表和圖。

推論統計學被用來將資料中的數據模型化，計算它的機率並且做出對於母體的推論。這個推論可能以對/錯問題的答案所呈現(假設檢定)，對於數字特徵量的估計(估計)，對於未來觀察的預測，關聯性的預測(相關性)，或是將關係模型化(迴歸)。其他的模型化技術包括變異數分析(ANOVA)，時間序列，以及資料採礦。

相關的觀念特別值得被拿出來討論。對於資料集合的統計分析可能顯示兩個變數(母體中的兩種性質)傾向於一起變動，好像它們是相連的一樣。舉例來說，對於人收入和死亡年齡的研究期刊可能會發現窮人比起富人平均來說傾向擁有較短的生命。這兩個變數被稱做相關的。但是實際上，我們不能直接推論這兩個變數中有因果關係;參見相關性推論因果關係(邏輯謬誤)。

如果樣本足以代表母體的，那麼由樣本所做的推論和結論可以被引申到整個母體之上。最大的問題在於決定樣本是否足以代表 整個母體。統計學提供了許多方法來估計和修正樣本和蒐集資料過程中的隨機性(誤差)，如同上面所提到的透過經驗所設計的實驗。參見實驗設計。

要了解隨機性或是機率必須具備基本的數學觀念。數理統計(通常又叫做統計理論)是應用數學的分支，它使用機率論來分析並且驗證統計的理論基礎。

任何統計方法是有效的只有當這個系統或是所討論的母體滿足方法論的基本假設。誤用統計學可能會導致描述面或是推論面嚴重的錯誤，這個錯誤可能會影響社會政策，醫療實踐以及橋樑或是核能發電計畫結構的可靠性。

即使統計學被正確的應用，結果對於不是專家的人來說可能會難以陳述。舉例來說，統計資料中顯著的改變可能是由樣本的隨機變量所導致，但是這個顯著性可能與大眾的直覺相悖。人們需要一些統計的技巧(或懷疑)以面對每天日常生活中透過引用統計數據所獲得的資訊。


[編輯] 統計方法

[編輯] 測量的尺度
統計學一共有四種測量的尺度或是四種測量的方式。這四種測量(名目，順序，等距，等比)在統計過程中具有不等的實用性 。等比尺度(Ratio measurements)擁有零值及資料間的距離是相等被定義的，等距尺度（Interval measurements）資料間的距離是相等被定義的但是它的零值並非絕對的無而是自行定義的（如智力或溫度的測量）。（ Ordinal measurements）順序尺度的意義並非表現在其值而是在其順序之上。名目尺度（Nominal measurements）的測量值則不具量的意義。


[編輯] 統計技術
以下列出一些有名的統計檢定方法以及可供驗證實驗數據的程序

變異數分析(ANOVA)
費雪最小顯著差異法（Fisher's Least Significant Difference test ）
學生t檢驗(Student's t-test)
曼-惠特尼 U 檢定（Mann-Whitney U）
回歸分析（regression analysis）
相關性（correlation）
皮爾森積矩相關係數(Pearson product-moment correlation coefficient)
史匹曼等級相關係數（Spearman's rank correlation coefficient ）
卡方分配（chi-square ）

[編輯] 延伸學科
有些科學廣泛的應用統計的方法使得他們擁有各自的統計術語，這些學科包括:

農業科學
生物統計
商用統計
資料採礦（應用統計學以及圖形從資料中獲取知識）
經濟統計學
電機統計
統計物理學
人口統計
心理統計學
教育統計學
社會統計（包括所有的社會科學﹚
文獻統計分析
化學與程序分析（所有有關化學的資料分析與化工科學）
運動統計學，特別是棒球以及曲棍球
統計對於商業以及工業是一個基本的關鍵。他被用來了解與測量系統變異性，程序控制，對資料作出結論，並且完成資料取向的決策。在這些領域統計扮演了一個重要的角色。

關於統計圖果d掛