有一個a cm × a cm的正方形，如果以正方形四個頂點為圓心，a cm為半徑，在正方形內各畫四段弧，那麼由果四段弧相交而成的圖形的面積是多少？
我知道呢題用integration實計到，但係我唔想用integration，咁仲有甚麼辦法？
如果真係沒有其他辦法嘅，就用番integration啦！不過你要解釋唔用integration計嘅難處。
非一般的面積題
2007-08-22 11:53 pm
回答 (2)
2007-08-23 12:35 am
參考: My Maths knowledge
2007-08-23 1:04 am
可以用座標幾何幫幫手 .....
設正方形四個頂點為 (0,0) (a,0) (a,a) (0,a)
由於這圖形上下對稱, 左右亦對稱, 那些弧線相交的四點 (即所求面積的 "頂點" ) 可設為 (a/2 +x, a/2) (a/2 -x, a/2) (a/2, a/2 +x) (a/2, a/2 -x)
如 x 為正數, (a/2 +x, a/2) 是 以(0,0) 為圓心的弧上的點 , 故有
(a/2 +x)^2 + (a/2)^2 = a^2
解 二次方程得 x = (-1+sqrt(3))a/2 (另一解為負數, 不取)
這樣可知 所求面積的 "頂點" 以直線相連 的面積 (四個全等的直角三角形) 為 (2-sqrt(3))a^2
最後要找直線與弧之間的面積, 由於已知直線長度, 可用三角函數求出對應的圓心角, 結果剛好是 30 度
那其中一個四分一圓中直線與弧之間的面積即為 pi a^2 (30/360) - a^2 (sin30) /2
= (pi/12 - 1/4) a^2
乘以 4 得 (pi/3 - 1) a^2
兩部分相加即為所求的面積 = (pi/3 +1 - sqrt(3)) a^2
大約是 0.315 a^2
設正方形四個頂點為 (0,0) (a,0) (a,a) (0,a)
由於這圖形上下對稱, 左右亦對稱, 那些弧線相交的四點 (即所求面積的 "頂點" ) 可設為 (a/2 +x, a/2) (a/2 -x, a/2) (a/2, a/2 +x) (a/2, a/2 -x)
如 x 為正數, (a/2 +x, a/2) 是 以(0,0) 為圓心的弧上的點 , 故有
(a/2 +x)^2 + (a/2)^2 = a^2
解 二次方程得 x = (-1+sqrt(3))a/2 (另一解為負數, 不取)
這樣可知 所求面積的 "頂點" 以直線相連 的面積 (四個全等的直角三角形) 為 (2-sqrt(3))a^2
最後要找直線與弧之間的面積, 由於已知直線長度, 可用三角函數求出對應的圓心角, 結果剛好是 30 度
那其中一個四分一圓中直線與弧之間的面積即為 pi a^2 (30/360) - a^2 (sin30) /2
= (pi/12 - 1/4) a^2
乘以 4 得 (pi/3 - 1) a^2
兩部分相加即為所求的面積 = (pi/3 +1 - sqrt(3)) a^2
大約是 0.315 a^2
收錄日期: 2021-04-29 19:41:33
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070822000051KK03394