微分的計算

微積分是微分和積分兩門學問的統稱，研究的範疇有三，包括微分、積分，以及微分和積分兩者之間的關係。微分主要討論一個變量怎樣隨時間（或其他變量）改變，而積分則主要討論計算面積的方法。它們兩者的關係由「微積分基本定理」（或稱「牛頓－萊布尼茨公式」）給出：簡單來說，這條定理說明，在適當的條件下，求積分是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。以下簡介微積分發展的歷史。

一、　萌芽時期

早在希臘時期，人類已經開始討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念。這些都是微積分的中心思想；雖然這些討論從現代的觀點看有很多漏洞，有時現代人甚至覺得這些討論的論証和結論都很荒謬，但無可否認，這些討論是人類發展微積分的第一步。

例如公元前五世紀，希臘的德謨克利特（Democritus）提出原子論：他認為宇宙萬物是由極細的原子構成。在中國，《莊子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，萬世不竭」，亦指零是無窮小量。這些都是最早期人類對無窮、極限等概念的原始的描述。

其他關於無窮、極限的論述，還包括芝諾（Zeno）幾個著名的悖論1：其中一個悖論說一個人永遠都追不上一隻烏龜2，因為當那人追到烏龜的出發點時，烏龜已經向前爬行了一小段路，當他再追完這一小段，烏龜又已經再向前爬行了一小段路。芝諾說這樣一追一趕的永遠重覆下去，任何人都總追不上一隻最慢的烏龜－－當然，從現代的觀點看，芝諾說的實在荒謬不過；他混淆了「無限」和「無限可分」的概念。人追烏龜經過的那段路縱然無限可分，其長度卻是有限的；所以人仍然可以以有限的時間，走完這一段路。然而這些荒謬的論述，開啟了人類對無窮、極限等概念的探討，對後世發展微積分有深遠的歷史意味。

另外值得一提的是，希臘時代的阿基米德（Archimedes）已經懂得用無窮分割的方法正確地計算一些面積，這跟現代積分的觀念已經很相似。由此可見，在歷史上，積分觀念的形成比微分還要早－－這跟課程上往往先討論微分再討論積分剛剛相反。

二、　十七世紀的大發展－－牛頓和萊布尼茨的貢獻

中世紀時期，歐洲科學發展停滯不前，人類對無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有甚麼突破。中世紀以後，歐洲數學和科學急速發展，微積分的觀念也於此時趨於成熟。在積分方面，一六一五年，開普勒（Kepler）把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件，從而求出其體積。而伽利略（Galileo）的學生卡瓦列里（Cavalieri）即認為一條線由無窮多個點構成；一個面由無窮多條線構成；一個立體由無窮多個面構成。這些想法都是積分法的前驅。

在微分方面，十七世紀人類也有很大的突破。費馬（Fermat）在一封給羅貝瓦（Roberval）的信中，提及計算函數的極大值和極小值的步驟，而這實際上已相當於現代微分學中所用，設函數導數為零，然後求出函數極點的方法。另外，巴羅（Barrow）亦已經懂得透過「微分三角形」（相當於以 dx、dy、ds 為邊的三角形）求出切線的方程，這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的。由此可見，人類在十七世紀已經掌握了微分的要領。

然而，直至十七世紀中葉，人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的觀念。就在這個時候，牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題，透過「微積分基本定理」或「牛頓－萊布尼茨公式」連繫起來，說明求積分基本上是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石，是微積分發展一個重要的里程碑。

微積分誕生以後，逐漸發揮出它非凡的威力，過去很多初等數學束手無策的問題，至此往往迎刃而解。例如，雅各布．伯努利（Jakob Bernoulli）用微積分的技巧，發現對數螺線經過各種適當的變換之後，仍然是對數螺線3。他的弟弟約翰．伯努利（Johnann Bernoulli）在一六九六年提出一個「最速降線」問題︰「一質點受地心吸力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什麼曲線，時間最短？」這條問題後來促使了變分學誕生4。歐拉（Euler）的《引論》、《微分學》、《積分學》亦總結了自十七世紀微積分的全部成果。

儘管如此，微積分的理論基礎問題，仍然在當時的數學界引起很多爭論5。牛頓的「無窮小量」，有時是零，有時又不是零，他的極限理論也是十分模糊的。萊布尼茨的微積分同樣不能自圓其說。這個問題要到十九世紀才得到完滿的解答，所以微積分在當時，惹來不少反對的聲音，當中包括數學家羅爾（Rolle）。儘管如此，羅爾本身亦曾提出一條與微積分有關的定理︰他指出任意的多項式 f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ... 的任何兩個實根之間都存在至少一個 b + 2cx + 3dx2 + ... 的實根。熟悉微積分的朋友會知道，b + 2cx + 3dx2 + ... 其實是 f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ... 的導數6。後人將這條定理推廣至可微函數，發現若函數 f (x) 可微，則在 f (x) = 0 的任何兩個實根之間，方程 f'(x) = 0 至少有一個實根。這條定理被冠為「羅爾定理」，是為微分學的基本定理之一。由此可見，在挑戰微積分的理論基礎的同時，數學家已經就微積分的發展作出了很大的貢獻。

三、十九世紀基礎的奠定

微積分的發展迅速，使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎。十九世紀，許多迫切問題基本上經已解決，數學家於是轉向微積分理論的基礎重建，人類亦終於首次給出極限、微分和積分等概念的嚴格定義。

一八一六年，波爾查諾（Bolzano）在人類歷史上首次給出連續函數的近代定義。繼而在一八二一年，柯西（Cauchy）在他的《教程》中提出 e 方法，後來在一八二三年的《概要》中他改寫為 d 方法，把整個極限過程用不等式來刻畫，使無窮的運算化為一系列不等式的推算，這就是所謂極限概念的「算術化」。後來外爾斯特拉斯（Weierstrass）將 e 和 d 聯繫起來，完成了 e-d 方法，這就是現代極限的嚴格定義。

有了極限的嚴格定義，數學家便開始嘗試嚴格定義導數和積分。在柯西之前，數學家通常以微分為微積分的基本概念，並把導數視作微分的商。然而微分的概念模糊，把導數定義作微分的商因此並不嚴謹。於是柯西《概要》中直接定義導數為差商的極限，這就是現代導數的嚴格定義，是為現代微分學的基礎。

在《概要》中，柯西還給出連續函數的積分的定義：設 f(x) 為在 [a,b] 上連續的函數，則任意用分點 a = x0 < ... < xn = b，將 [a,b] 分為 n 個子區間 [xi-1,xi] (i = 1, 2, ..., n)，若果和式

當最大子區間的長度趨向 0 時，極限存在，則此極限稱為函數 f(x) 在 [a,b] 上的積分。這跟現代連續函數積分的定義是一致的。

後來黎曼（Riemann）推廣了柯西的定義。黎曼的定義跟柯西的定義不同的地方，在於和式 S 的定義：在黎曼的定義中，和式 S 定義為

（留意黎曼在黎曼和中用了 [xi-1,xi] 中任意一點 xi-1，而柯西在其和式 S 中則永遠選取子區間 [xi-1,xi] 的左端點 xi-1）。我們說黎曼推廣了柯西的定義，是因為對所有在 [a,b] 上連續的函數，柯西積分的值跟黎曼積分的值一樣，而且有一些在 [a,b] 上不連續的函數，當最大子區間的長度趨向 0 時 S 的極限依然存在。這就是現在所用的「黎曼積分」的定義；至此微積分理論的基礎重建已經大致完成。

柯西以後，微積分邏輯基礎發展史上的最重大事件是人類從集合理論出發，建立了實數理論－－我們說實數理論的建立是微積分理論發展史上的一件大事，是因為微積分的理論用上了很多實數的性質。這實數理論的建立，主要功勞歸於戴德金（Dedekind）、康托爾（Cantor）、外爾斯特拉斯等人。一八七二年，梅雷（Méray）提出的無理數定義，和同一年康托爾提出用有理「基本序列」來定義無理數實質相同。有了實數理論，加上集合論和極限理論，微積分就自從三百年以來，首次有了鞏固的邏輯基礎，而微積分的理論亦終於趨於完備。

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