龐加萊猜想

20世紀
這個問題曾經被擱置了很長時間，直到1930年J. H. C. Whitehead首先宣佈已經證明然而又收回，才再次引起了人們的興趣。Whitehead提出了一些有趣的三流形實例，其原型現在稱為Whitehead流形。

1950和1960年代，又有許多著名的數學家包括Bing, Haken, Moise和Papakyriakopoulos聲稱得到了證明，但最終都發現證明存在致命缺陷。1961年，美國數學家史提芬·斯梅爾採用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。這段時間對於低維拓撲的發展非常重要。這個猜想逐漸以證明極難而知名。但是，證明此猜想的工作增進了對三流形的理解。1981年美國數學家M.Freedman證明了四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。

1982年，理察·漢密爾頓引入了「里奇流」的概念，並以此證明了幾種特殊情況下的龐加萊猜想。在此後的幾年中，他進一步地發展了此方法，後來被佩雷爾曼的證明所使用。


[編輯] 21世紀

Clay Institute2005年終報告，封面有 Ricci 流方程 及幾何化示意圖在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格裡戈里·佩雷爾曼在arXiv.org發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷爾曼之後，先後有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛；以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。據報導[1]，2006年6月3日，丘成桐曾表示曹懷東和朱熹平第一個給出了龐加萊猜想的完全證明[2]。

2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

在1904年發表的一組論文中，龐加萊提出以下猜想：
任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。

上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價於三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。

2007-08-10 16:15:29 補充：
由於解法太長, 不能在此直接打下.以下網址就有答案, 請去看看:http://hk.wrs.yahoo.com/_ylt=A8tU33JfHbxGfjkAP0mzygt.;_ylu=X3oDMTE3Mm43cWE0BGNvbG8DdwRsA1dTMQRwb3MDMwRzZWMDc3IEdnRpZANoazAxMDRfNg--/SIG=12g81n1jf/EXP=1186819807/**http%3A//www.math.ntu.edu.tw/library/math_general/poincare.doc