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函数的最大值、最小值及其应用
在工农业生产、工程技术及科学实验中,常会遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使"产品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。
这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
怎样求函数的最大值、最小值呢?我们已经知道了,函数的极值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值时,可求出开区间(a,b)内全部的极值点,加上端点的值,从中取得最大值、最小值即为所求。
世上最大的數是∽
局部最大值: 如果存在一個 ε > 0, 使的所有滿足|x-x*| < ε 的x都有f(x*) ≥ f(x) 我們就把點x*稱為一個函數 f 的局部最大值. 從函數圖像上看,局部最大值就像是山頂。
局部最小值: 如果存在一個 ε > 0, 使的所有滿足|x-x*| < ε 的x都有f(x*) ≤ f(x) 我們就把點x*稱為一個函數 f 的局部最小值. 從函數圖像上看,局部最小值就像是山谷的底部。
全局(或稱'絕對')最大值 如果點x* 對於任何x都滿足f(x*) ≥ f(x),則點點x*稱為全局最大值.同樣如果如果點x* 對於任何x都滿足f(x*) ≤ f(x),則點點x*稱為全局最小值. 全局最值一定是局部極值,反之則不然.
極值的概念不僅僅限於定義在實數域上的函數.定義在任何集合上的實數值函數都可以討論其最大最小值. 為了定義局部極值,函數值必須為實數,同時此函數的定義域上必須能夠定義鄰域. 鄰域的概念使得在x的定義域上可以有|x - x*| < ε.
局部最大值(最小值)也被稱為極值(或局部最優值),全局最大值(最小值)也被稱為最值(或全局最優值).