急教!!F.4方程(20分)

在二次方程x^2+2ax+a(b-2)=0 之中，a、b都是常數，其中a≠0。已知該方程有二重根。
(a)證明a-b+2=0 這題我識

當這式是這形式 Ax^2 + Bx + C = 0
有二重根所以判別式為零
B^2 – 4AC = 0
(2a)^2 – 4(1)(a(b-2)) = 0
4a^2 – 4ab + 8a = 0
a – b + 2 = 0

(b) 試以a表示
(i) 上述方程的根

因為是重根，依方程式的性質，兩根和α + β= 2α(因為是重根)
α + β = -B/A
2α = -2a
α = -a

(ii)函數y= f (x)=x^2+2ax+a(b-2)的圖像與x軸和y軸相交的點的坐標；

和 x 軸相交，則 y = 0
x^2+2ax+a(b-2) = 0
所以
x = -a
和 x 的交點為 (-a, 0)

和 y 軸相交，則 x = 0
y = 0^2+2a(0)+a(b-2)
y = a(b-2)
所以和 y 點的坐標為
(0, a(b-2))


(iii)函數y= f (x)=x^2+2ax+a(b-2)的圖像的對稱軸方程。

y= f (x)=x^2+2ax+a(b-2)
y = x^2 + 2ax + a^2 – a^2 + a(b-2)
y = (x + a)^2 – a^2 + a(b-2)
所以對稱軸方程為
x + a = 0
x = -a

(c)利用(b)部的結果，試寫出方程5 - x^2 - 2ax - a(b-2)=0的實根數目。

有兩個實根。
因為
f(x) = x^2 + 2ax + a(b-2) 和 x 軸相切，及曲線缺口向上
g(x) = x^2 + 2ax + a(b-2) – 5，則g(x) 向下移，和 x 軸有兩交點，所以
5 - x^2 - 2ax - a(b-2)=0 (亦即x^2 + 2ax + a(b-2) – 5 = 0) 有兩實根。