急!!!橢圖形面積

橢圓形的面積是πab，其中a是最長的半徑，b是最短的半徑。

證明：

首先把橢圓形放在平面直角坐標上，其實放在任何位置都可以，但為了方便計算，就把橢圓形的圓心對準在平面直角坐標的原點上，最長的半徑a對準在x軸，最短的半徑b對準在y軸。

此時，橢圓形的方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a是最長的半徑，b是最短的半徑。

∵該橢圓形與x軸和y軸對稱
∴橢圓形的面積
= 4 ∫(0 to a)│y│dx
= 4 ∫(0 to a) b√(1 – x²/a²) dx
= 4b/a ∫(0 to a) √(a² – x²) dx


設x = a sin θ，其中 – π/2 ≦ θ ≦ π/2
dx = a cos θ dθ

當x = 0，θ = 0
當x = a，θ = π/2

因此4b/a ∫(0 to a) √(a² – x²) dx
= 4b/a ∫(0 to π/2) √(a² – a² sin² θ) (a cos θ) dθ
= 4ab ∫(0 to π/2) cos² θ dθ
= 2ab ∫(0 to π/2) (1 + cos 2θ) dθ
= 2ab [θ + (sin 2θ)/2] (0 to π/2)
= πab


資料來源：

http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007051003438

http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007071600055

橢圖形即係 ellipse

一個基礎的 ellipse 的formula 如下 : ( x^2 / a^2 ) + ( y ^2 / b^2 ) = 1
( a, b 為real number )

要計佢個area 的方法係intergration ( 積分 )

Area = 4 ∫ ( b/a )√( a^2 - x^2 ) dx , ( 0, a )
= ab π

事實上，a同b 分別係由個中心點申出去垂直最高同水平最長點，如果a等於b，就會變成一個圓形，咁圓形的area 係 ab π ，(即係變左半徑2次乘π) 完全合理。