1+1點解=2?

如果係IQ題:

1+1=2
1+1=11
1一11=1111(拆+號)
1+一+1+1=4(拆+號)
11二=112(拆=號)
1+1+2=4(拆=號)
1一11二=11112(拆+,=號)
1+一+1+1+2=6(拆+,=號)

*所以1+1唔一定等於2,多思考就可以稔到更多*

如果係數學題:

1+1=？

資料如下：

不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。
有不少人都可能曾經問過"為何1+1=2？"這個看似多餘(!?)的問題。現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 "1+1=2& quot; 這句對絕大多數人來說都"顛撲不破"的數學述句。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}

〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕

現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：

0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}

[Λ為空集]

一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。

在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。

〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕

跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。

定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。

映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。

現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下：
1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)

〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]

1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。我相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica";;;;;;;;; ;;;;;中的那個。
我們可以這樣証明"1+1 = 2"：
　首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
　γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]


證明: 1+1=2


1先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件,

a.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n+,n+與n 對應.

b.元素e 必定屬於N 中.

c.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.

d.N 中的元素,a+=b+則a=b.(元素唯一)

e.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n+也屬於S.那麼S=N.

N 就是我們說的自然數集合.

其中我們規定e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此類推.

2. 再來定義加法,

加法(+)為一函數,這函數滿足兩個條件

1.(+)(n,e)=n+ 寫成大家熟悉的式子1.n(+)e=n+

2.(+)(n,m+)=((+)(n,m ))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+

滿足上面條件的函數(+),我們稱為加法+.(+):=+

滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下

因為(+)(e,e)=e+

e(+)e=e+

所以1+1=2 得證.

存在：

e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然數

唯一：

n N " Î ，

+(n,e)=n+

+(n,e+)=(+(n,e))+

+(n,e+)+)=………

故(+)存在且唯一

上述證明翻成白話文如下：

自然數系依加法運算分別是：1，1+，(1+)+，……。而這些1+，（1+）+，…就用符號2，3，...
表示，所以1 + 1指的是1後面那一個數字，也就是1+，自然就是2。

為什麼會有Peano 公設，及定義加法，這起源於十九世紀末，二十世紀初，Hibert，Brouwer，因物理上狹義相對論，及量子論推翻了物理舊基礎，而數學家們因此想證明，數學是有堅固基礎，是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎，於是第一個當然針對自然數系開始，希望能像歐氏幾何一樣，從基本公設，經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質，所以歸結出Peano 五個公設（其實後人把它進一步歸結成三個），而羅素與他的老師懷海德合寫<<數學原理>>三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯，這樣一來，數學家就可以宣稱「數學是真理」。不幸的是，1929年Godel 23歲時證明了一個定理：

不完全性定理：

如果有一個系統包含算術，而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾，那麼這個系統中一定存在一個命題，這一個命題的肯定或否定都無法證明。所以數學並不只是邏輯。當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義，可以從Godel的定理來看看。

簡單的方法：

1+1=2。。。(1+1)-1=2-1。。。1=1成立

1+1>2。。。(1+1)-1>2-1。。。1>1不成立

1+1<2。。。(1+1)-1<2-1。。。1<1不成立

希望可以幫到你^^

因為１隻手指加１隻手指
等於2隻

唉.............樓上班人講人講咁多野做咩呢?咁簡單既問題都要講咁多野，真係服左你地。

答題之達人出馬la................

數學同d法律一樣，都係人所訂立出來既。而人同人之間都一致默認左呢d人同人之間訂立既野，簡稱定律。打個比喻:

如果人同人之間訂立左%+%=2而唔係1+1=2，咁我地而家就要用%+%=2。點解為呢d係人所訂立既規則，而人類都接受左呢d所謂既規則(者係定律)。一直以來，有好多數學家創立d超古怪既符號:e.g:兀(即3.14)但點解人類會接受呢d超古怪既符號呢?

1.佢地尊重符號既創立人
2.既然符號定左，d人都唔想改
3.d人習慣左d符號，唔想改

所以，1+1點解=2?

因為呢d野係先祖整既同埋先祖所認同既符號，而家班人又唔想改，所而而家1+1仲係=2。不過，未來可能會變，1+1=2可以好快會out。

呢個係答題之達人之超專業答案，請各位人兄唔好【參考】此超專業答案，唔該晒。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
+ + + + + + + + + + +
--↑
全部係正數，(+1)+(+1)=+2
1向前一格就係 2 la

因為１之後係２。

2007-08-10 21:26:28 補充：
唉.............果個人講咁多野，做咩啊？

The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural
numbers N. N is the smallest set satisfying these postulates:

P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.

Then you have to define addition recursively:
Def: Let a and b be in N. If b = 1, then define a + b = a'
(using P1 and P2). If b isn't 1, then let c' = b, with c in N
(using P4), and define a + b = (a + c)'.

Then you have to define 2:
Def: 2 = 1'

2 is in N by P1, P2, and the definition of 2.

Theorem: 1 + 1 = 2

Proof: Use the first part of the definition of + with a = b = 1.
Then 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.

Note: There is an alternate formulation of the Peano Postulates which
replaces 1 with 0 in P1, P3, P4, and P5. Then you have to change the
definition of addition to this:
Def: Let a and b be in N. If b = 0, then define a + b = a.
If b isn't 0, then let c' = b, with c in N, and define
a + b = (a + c)'.

You also have to define 1 = 0', and 2 = 1'. Then the proof of the
Theorem above is a little different:

Proof: Use the second part of the definition of + first:
1 + 1 = (1 + 0)'
Now use the first part of the definition of + on the sum in
parentheses: 1 + 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.

- Doctor Rob, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/

Hope this can help your understanding!

無得解釋!!1+1=2好正常

從十進制去explain, 1+1係＝２