請說出什麼是夾擠定理並舉例示範

夾擠定理，又稱挾擠定理、三明治定理、夾逼定理，是有關函數極限的定理。它指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，第三個函數在該點的極限也相同。
設I為包含某點a的區間，f,g,h為定義在I上的函數。若對於所有屬於I而不等於a的x，有：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/2/9/c29aea8678b3c976827f4bbb8dd0fdd8.png
；

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/e/9/2e9ad5c96c4b677888bdd48b578937c2.png
；
則
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/9/6/a96e20e2bf32ae326e2bf90d08d5bf25.png
。
g(x)和h(x)分別稱為f(x)的下界和上界。
a若在I的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/5/1/75181abcb29e3d1ce73a8a52e26b7010.png
，這個定理還是可用的。
===========================================
例子

x^2 sin (1/x)
在任何包含0的區間上，除了x = 0，f(x) = x2sin(1 / x)均有定義。
對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此f(x)的絕對值也不大於x2。設g(x) = − x2, h(x) = x2：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/a/1/9a1acbc9d1b3a0edee42adf30c74d1f0.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/c/3/8c3de4b074efd656639c34a61346d617.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/2/9/c29aea8678b3c976827f4bbb8dd0fdd8.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/9/4/5941137036768f70c9c97ae512cb5d35.png
，根據夾擠定理


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/e/a/9eaeb4d81f1b3898cbd63b6d78b6ac00.png
。
（注：這個問題不可以用洛必達法則解決。）

求x趨近0時，(sin x)/x
首先用幾何方法證明：若0 < x < π / 2，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/b/0/7b041763fcef10dbd712320e7eaa6837.png
。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Circle-trig6.svg/338px-Circle-trig6.svg.png

稱(0,1)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。C在OD上，使得AC垂直OD。過A作單位圓的切線，與OD的延長線交於E。
由定義可得
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/c/5/0c59c5a633f8c0e8cf0d6df4d0a6cacd.png
，tanx = AE。

AC < AD < arcAD
sinx < x

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/3/0/a3077cb33de19a2a977e53a67a8ae663.png


arcAD < AE
x < tanx

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/6/9/1690100a8605fa7b776f318c9d61839e.png

因為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/b/f/6bfac31dacd875cecbebc5227425d2d3.png
，根據夾擠定理


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/9/0/1906546f76fa17b6ab582dea03e122b7.png
。

另一邊的極限可用這個結果求出。


------------------------------------------------------


高斯函數
高斯函數的積分的應用包括連續傅利葉變換和Normalization。 一般高斯函數的積分是
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/3/0/c30941b1429ed6bb7b57930d49dfe7e7.png
。
被積函數對於y軸是對稱的，因此
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/2/e/32e8d3ba23293876dc7f9d9f28360c85.png
是被積函數對於所有實數的積分的一半。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/e/6/3e65f91cbf1b46afe4e6f309b8de55a3.png

這個二重積分在一個( − a, − a),( − a,a),(a, − a),(a,a)的正方形內。它比其內接圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/4/3/f43a48fc9f9a72a5db7b2665bde40c25.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/1/0/b10e4553393db02df922b2e4d3a437e2.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/0/d/60d5c5e3666051aa6f13233a2751db17.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/5/8/358eb22737ae13fb4a68fd2cb797503b.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/c/9/ec9981c02a6af57ad2eb052a3231317a.png



===========================================
證明

極限為0的情況
若
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/0/7/c07748ff38c28fb7761cfc7dba45e0db.png
。
設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/4/8/44864ca3517786d4b9f27c6a2c885158.png
。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/a/efa6cd4a82769927ea191614c3513447.png
。
若 0 < | x − a | < δ，則
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/6/4/264dd8d33026ac0ee4b10e31db2b020c.png
。

一般情況

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/c/5/7c56807e70e3235fca992a4a51485a8a.png

當x \to a：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/6/4/364546d6baea35d8411207a66bdf9a1b.png

根據上面已證的特殊情況，可知
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/1/4/414a3f3c076b1d05ae7d5c0b6b4a988f.png
。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/6920719cdaf17025a00024f5dc2e8181.png
。 ■