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素數,又稱質數,是只有兩個正因數(1和自己)的自然數。
比1大但不是質數的數稱之為合數,而1和0既非質數也非合數。質數的屬性稱為素性,質數在數論中有著非常重要的地位。
最小的質數是2,而最大的質數並不存在,這一點歐幾里德已在其《幾何原本》中證明。
圍繞質數存在很多的數學問題、數學猜想、數學定理,較為著名的有孿生質數猜想、哥德巴赫猜想等等。
質數序列的開頭是這樣:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113 (OEIS:A000040)
質數集合有時也被表示成粗體 。
在抽象代數的一個分支-環論中,素元素有特殊的含義,在這個含義下,任何質數的加法的逆轉也是質數。換句話說,將整數Z的集合看成是一個環,-Z是一個素元素。不管怎樣,數學領域內,提到質數通常是指正質數。
算術基本定理說明每個正整數都可以寫成質數的乘積,因此質數也被稱為自然數的「建築的基石」例如:
關於分解的詳細方法,可見於整數分解這條目。
這個定理的重要一點是,將1排斥在質數集合以外。如果1被認為是質數,那麼這些嚴格的闡述就不得不加上一些限制條件了。
質數的數目
質數是無窮多的,對這個論斷,現在所已知的最古老的檢驗方法是歐幾里德在他的幾何原本中提出來的。他的檢驗方法可以簡單地總結如下:
取有限個數的質數,因為要做自變數我們假設全部的質數都存在,將這些質數相乘然後加1,得到的數是不會被這些質數中的任何一個整除的,因為無論除哪個總會余1。因此這個數要麼本身就是個質數,要麼存在不在這個有限集合內的約數。因此我們開始用的集合不包含所有的質數。
別的數學家也給出了他們自己的證明。歐拉證明了全部質數的倒數和發散到無窮的。恩斯特·庫默的證明尤其簡潔,Furstenberg用一般拓撲證明。
儘管整個質數是無窮的,仍然有人會問「100000以下有多少個質數?」,「一個隨機的100位數多大可能是質數?」。質數定理可以回答此問題。
合數,又名合成數,是滿足以下任一(等價)條件的正整數:
是兩個大於 1 的整數之乘積;
擁有某大於 1 而小於自身的因子;
擁有至少三個因子;
不是 1 也不是質數;
有至少一個素因子的非質數。
值得注意的是,完全平方數有奇數個因子,不是完全平方數的合數有偶數個因子。
屬性
大於2的偶數都是合數。
所有的合數都不是質數。
最小的合數是4。