計年利率% ...... (15 分) 世界數學難題之第一題!~ 100萬英磅獎金

每月給Y 先生631.4蚊,被足Y 先生15年(冇走數),禁佢Y 先生同我講: 啦! 如果你每月可以被足631.4我去用既話,禁我15年之後就被番$146295蚊你,禁我製得過嗎?
這題假設是以用利計算，每月的利息是 R%，若每月存 P元，則第一個月共存了15月(15x12 = 180期)，所以第每一個月的存款在到期時的本利和
第一個月：P(1 + R%)^180
第二個月：P(1 + R%)^179
第三個月：P(1 + R%)^178
……………..
……………..
最後一個月：P(1 + R%)
所以總共的本利和為
A = P(1+R%) + P(1+R%)^2 + ……. + P(1 + %)^180
依幾何級數公式
A = P[(1 + R%)^181 – (1 + R%)] / R%
所以當 A = 146295元；P = 631.4元
146295 = 631.4[(1 + R%)^181 – (1 + R%)] / R%
由此得
R = 0.26863%
化成年利率
r = 3.224%
3.224% 小於通賬所以不值得。

如果我每月給Y 先生631.4蚊,被滿左15年,禁我積係被左$113652蚊Y 先生去洗, 而將Y 先生15年之後被番我的錢減去我每月給Y 先生合共的錢,我就賺左Y 先生$32643蚊, 禁Y 先生被番我的錢既年利率係幾多呢?高過擺係銀行,被你選,你寧願每月被Y 先生,定銀行?
由以上所計利率只為 3.224%，比貯蓄存款稍高，但為15年的投資，比一般公積金期望回報 5%，及買藍籌股四厘幾(不計股票升值)，所以寧願在銀行定期。

要計算此題,你需了解present value(PV)與future value(AV)的分別,簡單講,15年後的146295是AV,15年後你共付出113652不是PV也不是AV,那如何比較?
方法一:每月631.4畀足十五年(180期)的AV在年利率(annel nominal rate)i%(或有效月利率r=i/12)下 = $146295
即: 設 1+r% = R
631.4x(R^180 + R^179 + R^178 + ... + R + 1) = 146295
解R 得出 r 即得出 i, 再比較一般年利率如10年期美國國庫債券的孳息率, 如果i 比較大,即你很可能有賺。
解R可用金融計算機如德州儀器,或用excel,或用數學方法如最簡單的二分法(Method of Bisection)。
用德州儀器BAII Plus 解得i = 3.26,即3厘幾,這麼長的年期,只有3厘幾就不化算了, 因今日的美國10年期國庫債券都有約5厘。
方法二:與上式相反,使用PV, 但比較麻煩,因為你只知AV,但原理相同,不同的是使用貼現率(discount rate) v=1/(1+i)。
這條數是金融數學基本,可讓你了解如按揭的計算。
再講,15年後的146295貼現,若用年利率4%計,現只值:80368.50!

問:如果你今日給我100,000, 我答應你每月給你500給足你一世,即到你死果日,你話值不值?