數學題(面積及體積)

1.)把1個直立圓錐體放入1個盛了水的圓柱體的容器。圓錐體的底面半徑是其斜高的1/3，總表面面積是64兀cm^2。若圓柱體的容器的底面直徑是10cm，求水上升的高度。
設圓錐體的底半徑是r，斜高為 3r，則依題意
(r)(3r) π + r^2π = 64π
4r^2π = 64π
r = 4cm
斜高是 3r = 12cm，高h是
h = √(12^2 – 4^2) = 11.3cm
所以它的體積V為
V = r^2πh / 3 = 4^2π(11.3) / 3 = 60.3π
所以水位上升了 H
R^2πH = 60.3π
5^2πH = 60.3π
H = 2.41cm


2.)一個立體是由一個半球體和一個圓柱體組成的。若圓柱體高度與底面半徑的比是2:1，而此立體的總表面面積是252兀cm^2。求
(a).高度h
它的底半徑 r = 0.5h
總表面積 = 側面積 + 底面積 + 頂半球面積
252π = 2rhπ + r^2π+ 2r^2π
252 = 2(0.5h)h + (0.5h)^2+ 2(0.5h)^2
252 = 1.75h^2
h^2 = 144
h = 12cm

(b).底面半徑r
r = 0.5h = 0.5x12
r = 6cm

(c).立體的體積(答案以兀表示)
總體積V = 圓柱體體積 + 頂半球形體積
V = r^2πh + 2r^3π / 3
V = 6^2π(12) + 2(6)^3π / 3
V = 576π


3.)一個正方體外接一個半徑是開方8cm的球體。求
(a).正方體的邊長
則這正方體的斜對角線是2√8
設它的邊長為 x
則
√(3x^2) = 2√8
3x^2 = 32
x = √(32/3) cm

(b).球體與正方體之間的體積(取兀=3.14)
球體的體積V為
V = 4R^3π / 3
V = 4(√8)^3π / 3
V = 94.73cm^3
正方形的體積 V’為
V’= x^3
V’= (√(32/3))^3
V’= 34.84cm^3
球體與正方體之間的體積
V – V’=94.73 -34.84 = 59.90cm^3


4.)兩個球體的表面面積的比是25:4，求
(a).它們的半徑的比
A = 4πR^2
A1 / A2 = 25 / 4
R1^2/R2^2 = 25/4
R1 / R2 = 5/2

(b).它們的體積的比
V = 4R^3π/3
V1 / V2 = R1^3/R2^3 = 5^3 / 2^3
V1 / V2 = 125 / 8


5.)兩個半徑是14cm的籃球剛好放入一個(長方形)盒內。
(a).求這個盒的長度，闊度和高度
長度 = 4R = 4x14 = 56cm
闊度 = 高度 = 2R = 2x14 = 28cm


6.)把三個直徑長10cm的鐵球燒熔後，鑄成兩個一樣大小的實心圓柱體作為滾軸。假設滾軸的直徑長10cm。
(a).求滾軸的長度
三個鐵球的總體積 = 3(4πR^3 / 3) = 4πR^3 = 4π(5)^3
= 500π
設滾軸的長為 L，則
2LπR^2 = 500π
2Lπ(5)^2 = 500π
L = 10cm

(b).求三個鐵球的總表面面積:兩個滾軸的總表面面積
三個鐵球的總表面面積A
A = 3(4πR^2) = 12π(5)^2
= 300π cm^2

兩個滾軸的總表面面積A’
A’= 2(2πR^2 + 2πRL)
A’= 2(2π(5)^2 + 2π(5)(10))
A’ = 300π cm^2