咩係絕對值?

在數學中，絕對值（或稱模）用來表示距離或數量的大小。絕對值的概念也可以定義在複數、有序環以及域上。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Absolute_value.png
實數絕對值的平面座標圖（面積）
實數的絕對值 一個數的絕對值永遠非負，沒有負號，某數的絕對值表示為|某數|。對於所有實數x︰若x是負數，|x|為-x（即是一個正數）；若x非負，|x|就是x本身。一個數的絕對值可以視為該數在數軸上的點和零的距離。例如3同時是3和-3的絕對值。
絕對值有以下性質：
|a| ≥ 0|a| = 0 若且唯若 a = 0.|ab| = |a||b||a/b| = |a| / |b| (若 b ≠ 0)|a+b| ≤ |a| + |b| (見三角不等式)|a−b| ≥ ||a| − |b||
[編輯] 複數的絕對值 複數的絕對值定義為︰若z=a+ib，則
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/9/5/09521121dd01ba0681e0da3b008892d6.png
（見平方根和共軛複數）。它符合以上的六項性質，但以下的三項就未必成立：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/49/Error.png
但此時有

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/3/1/3310ba1e186ed7e0f549de4a3deca0a7.png
最後兩道式子常用於計算涉及複數絕對值的不等式。

[編輯] 有序環上的絕對值 絕對值的定義可以照搬到有序環上。定義如下：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/c/9/5c9f4a26ccefa5cb8a8caaedae04de5b.png
其中 − a 是 a 的加法反元素，而 0 是有序環的加法單位元素。

[編輯] 域上的絕對值 在抽象的域上，我們用絕對值的基本性質來推廣定義。一個域 F 上的絕對值是一個函數
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/4/6/946709a9388c00005cde73b236cd5d70.png
，滿足以下四條公理:

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/6/5/e65854add7fa0e14ce9877552cc7eb50.png
三角不等式 由以上公理可以導出 | 1 | = 1。距離函數 d(x,y) = | x − y | 賦予 F 度量空間結構。
如果將定義中的三角不等式換作以下較強的形式（有時又叫做強三角不等式）

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/b/9/7b9f32a8c5f0d13e90ac1b122d01fa89.png
滿足阿基米德性質。[1]。
超度量域的典型例子是 p進數域。一般來說，值群在
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/6/0/1601b3408fcb3ccbae0151e614db77bb.png
；不同的 a 給出等價的拓撲結構。

簡單而言即是在加上絕對值符號後，不論符號內的數是正或負，結果都會變成正值，但數值不變。
一個數的絕對值永遠非負，沒有負號，某數的絕對值表示為|某數|。

例子:
| x | = 1
x 的值的大小就是 1 ，但 x 可能是正數又可能是負數。因此，
x = 1-0 = 1 或 x = 0-1 = -1
一個數的絕對值可以視為該數在數軸上的點和零的距離。例如1同時是1和-1的絕對值。

絕對值有以下性質：
|a| ≥ 0
|a| = 0 若且唯若 a = 0.
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a| / |b| (if b ≠ 0)
|a+b| ≤ |a| + |b| (見三角不等式)
|a−b| ≥ ||a| − |b||


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