三角形數 同正方形數既公式係咩.......

三角形數
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一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一個等邊三角形，因此10是一個三角形數：

　　　　ｘ
　　　ｘ　ｘ
　　ｘ　ｘ　ｘ
　ｘ　ｘ　ｘ　ｘ
開始個18個三角形數是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……

第n個三角形數的公式是。
第n個三角形數是開始的n個自然數的和。
所有大於3的三角形數都不是質數。
開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102）
所有三角形數的倒數之和是2。
任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。
一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個公式來表示：n * (2n + 1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用n * (2n - 1)來表示。
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特殊的三角形數
36是唯一已知的是一個三角形數的平方數的三角形數。
55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617,716）、第111,111個三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數（61,728,399,382,716）都是迴文式的三角形數，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。
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和其他數的關係
四面體數是三角形數在立體的推廣。
兩個相繼的三角形數之和是平方數。
三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
三角形數屬於一種多邊形數。
所有偶完美數都是三角形數。
任何自然數是最多三個三角形數的和。高斯發現了這個規律。他在1796年7月10日在日記中寫道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ
取自"http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E6%95%B8"


正方形數係冇的...
只有四面體數...

三角形數




1、3、6、10、15、21、28 .....是一列三角數，如果以Tn表示第n個三角數，
則Tn = n(n+1)/2。



正方形數
(圖一) 是T3 + T4 = 42 的圖示，如果推廣之，可得 Tn-1+ Tn = n2 。
這是因為 Tn-1+ Tn = (n-1)(n-1+1)/2+n(n+1)/2=n(n-1+n+1)/2 = 2n2/2 = n2 。
(圖二) 是 2T4 = 4 × 5的圖示，如果推廣之，可得2Tn = n(n+1)。
這是因為2Tn=2n(n+1)/2 = n(n+1)。
(圖三) 是 T2×4=2T4+42的圖示，如果推廣之，可得T2×n=2Tn+n2。
這是因為 T2×n=(2n)(2n+1)/2 = n(2n+1)=2n2+n = n2+n+n2 = [2(n2+n)/2]+n2 =2Tn+n2。

(圖四) 是 T2×4+1=3T4+T5的圖示，如果推廣之，可得T2n+1=3Tn+Tn+1。
這是因為 T2n+1=(2n+1)(2n+2)/2 = (2n+1)(n+1)；而且3Tn+Tn+1= 3[n(n+1)/2]+[(n+1)(n+2)/2] = (n+1)[(3n+n+2)/2] = (2n+1)(n+1)。
同學可以試試說明以下關係式：
1. Tm+n = Tm + Tn + m×n

2. 如果 n > m ，則 Tm + Tn = Tn-m + m×(n+1)

正確來說，n * ( n + 1 ) * ( 2n + 1 ) / 6 並不是正方形數的公式
正方形數的數型或第 n 項的公式是 n^2，即

第一個正方形數是 1^2 = 1、
第二個正方形數是 2^2 = 4、
第三個正方形數是 3^2 = 9 ……
第 n 個正方形數是 n^2。

至於 n * ( n + 1 ) * ( 2n + 1 ) / 6 是首 n 個正方形數之和的公式，即
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n * ( n + 1 ) * ( 2n + 1 ) / 6。

最常用來証明這條公式的是數學歸納法：
設 P( n ) 為命題 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n * ( n + 1 ) * ( 2n + 1 ) / 6

當 n = 1 時，
左方 = 1^2 = 1
右方 = ( 1 ) * [( 1 )+ 1 ] * [ 2( 1 ) + 1 ] / 6 = 1 * 2 * 3 / 6 = 1
所以 P( 1 ) 成立。

當 n = k 時，假設存在某正整數 k 使 P( k ) 成立，即
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k * ( k + 1 ) * ( 2k + 1 ) / 6

當 n = k + 1 時，
左方 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + ( k + 1 )^2
= [ k * ( k + 1 ) * ( 2k + 1 ) / 6 ] + ( k + 1 )^2
= [( k + 1 ) / 6 ] * [ k * ( 2k + 1 ) + 6( k + 1 )]
= [( k + 1 ) / 6 ] * ( 2k^2 + k + 6k + 6 )
= [( k + 1 ) / 6 ] * ( 2k^2 + 7k + 6 )
= [( k + 1 ) / 6 ] * ( k + 2 ) * ( 2k + 3 )
= ( k + 1 ) * ( k + 2 ) * ( 2k + 3 ) / 6
= ( k + 1 ) * [( k + 1 ) + 1 ] * [ 2( k + 1 ) + 1 ] / 6
= 右方

所以當 P( k ) 成立時，P( k + 1 ) 均成立，
所以根據數學歸納法，對於所有正整數 n ，P( n ) 皆成立。即
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n * ( n + 1 ) * ( 2n + 1 ) / 6

n是代數字母
三角形數:n乘(n+1)除2
e.g.1+2+3+4+5+...+63=63乘(63+1)除2=2016

正方形數:
1)(頭項+尾項)除2的平方(右上角有個指數2)
e.g.1+3+5+7+9+11=(1+11)除2的平方(右上角有個指數2)=6平方(右上角有個指數2)=36
2)n的平方(右上角有個指數2)
1+2+3+4+3+2+1=4的平方(右上角有個指數2)=16

1. 三角形數計法 :
(首項+尾項) X 項數 / 2

2. 正方形數計法 :
項數 X 項數

I hope I can help U.

三角形數的例子是1,3,6,10,15,21,28,36,45,55
正方形數的例子是1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
三角形數的公式是; 1+2=3 3+3=6 6+4=10 [留意加數的變化 +2 +3 +4 +5以此類推]
正方形數的公式是; 2*2=4 3*3=9 4*4=16 [留意乘數的變化 *2 *3 *4 *5 *6以此類推]

三角形面積:底*高/2
正方形面積:長*闊