請問有沒有橢圓形的計算方法？

(a)橢圓形的周界

橢圓形的周界是4aE(e)，其中a是長軸的長度，e是離心率e = √(1 – b²/a²)，
函數E(k)是第二類完全橢圓積分函數。

E(k)的運算定義如下：
E(k) = E(π/2 , k) = ∫(0 to π/2) √(1 – k² sin² θ) dθ
http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheSecondKind.html

證明：

首先把橢圓形放在平面直角坐標上，其實放在任何位置都可以，但為了方便計算，就把橢圓形的圓心對準在平面直角坐標的原點上，最長的半徑a對準在x軸，最短的半徑b對準在y軸。

此時，橢圓形的方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a是最長的半徑，b是最短的半徑。

此外，橢圓形的參數方程是x = a sin θ , y = b cos θ。

∵該橢圓形與x軸和y軸對稱
∴橢圓形的周界
= 4 ∫(0 to π/2) √[(dx/dθ)² + (dy/dθ)²] dθ
= 4 ∫(0 to π/2) √[(a cos θ)² + (– b sin θ)²] dθ
= 4 ∫(0 to π/2) √(a² cos² θ + b² sin² θ) dθ
= 4 ∫(0 to π/2) √(a² cos² θ + a² sin² θ – a² sin² θ + b² sin² θ) dθ
= 4 ∫(0 to π/2) √[a² – (a² – b²) sin² θ] dθ
= 4a ∫(0 to π/2) √[1 – (1 – b²/a²) sin² θ] dθ
= 4a ∫(0 to π/2) √[1 – (√(1 – b²/a²))² sin² θ] dθ
= 4a ∫(0 to π/2) √[1 – e² sin² θ] dθ
= 4aE(e)

橢圓形的周界還可以以無窮級數表示：

橢圓形的周界 = 2πa[1 – (1/2)²e² – ((1 × 3)/(2 × 4))²((e^4)/3) – ((1 × 3 × 5)/(2 × 4 × 6)²((e^6)/5) – …]

或

橢圓形的周界 = 2πaΣ(n = 0 to ∞)[– [Π(m = 1 to n)[(2m – 1)/(2m)]]²(e²ⁿ/(2n – 1))]

E(k)這個積分不能用平常的方法求得，因為√(1 – k² sin² θ)的原函數（primitive function）是不能以基礎函數（elementary function）表示。

一般來說，E(k)的計算要用到進階的數學軟件，如Mathematica的built-in function：

E(k) : = EllipticE[√k]

由於不能得到準確的數值，所以有估算公式，例如：

橢圓形的周界 ≈ π[3(a + b) – √((3a + b)(a + 3b))]

它還可以寫為：

橢圓形的周界 ≈ πa[3(1 + √(1 – e²)) – √((3 + √(1 – e²))(1 + 3√(1 – e²)))]

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A4%AD%E5%9C%86

還有其他估算公式，例如：

橢圓形的周界 ≈ π√(2a² + 2b²)

或

橢圓形的周界 ≈ π(a + b)[1 + 3h/(10 + √(4 – 3h))] where h = ((a – b)/(a + b))²

http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

(b)橢圓形的面積

橢圓形的面積是πab，其中a是最長的半徑，b是最短的半徑。

證明：

首先把橢圓形放在平面直角坐標上，其實放在任何位置都可以，但為了方便計算，就把橢圓形的圓心對準在平面直角坐標的原點上，最長的半徑a對準在x軸，最短的半徑b對準在y軸。

此時，橢圓形的方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a是最長的半徑，b是最短的半徑。

∵該橢圓形與x軸和y軸對稱
∴橢圓形的面積
= 4 ∫(0 to a)│y│dx
= 4 ∫(0 to a) b√(1 – x²/a²) dx
= 4b/a ∫(0 to a) √(a² – x²) dx


設x = a sin θ，其中 – π/2 ≦ θ ≦ π/2
dx = a cos θ dθ

當x = 0，θ = 0
當x = a，θ = π/2

因此4b/a ∫(0 to a) √(a² – x²) dx
= 4b/a ∫(0 to π/2) √(a² – a² sin² θ) (a cos θ) dθ
= 4ab ∫(0 to π/2) cos² θ dθ
= 2ab ∫(0 to π/2) (1 + cos 2θ) dθ
= 2ab [θ + (sin 2θ)/2] (0 to π/2)
= πab

2007-07-20 23:27:41 補充：
樓上再樓上果位ⓡⓤⓑⓨ♥♡♥
，你隻copycat，你竟然照抄我在這題http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007042904211的回答卻唔落出處，抄襲我嘅回答已經好唔應該啦，仲抄錯嘢，搞到答非所問添！如果你果篇嘢做到「最佳解答」嘅話我實唔會放過你！！！by doraemonpaul

雖然條公式係長左d，不過其實呢個已經係最簡單既表達方式，
反正難既地方唔係o係條式度，而係o係個證明度，
睇你應該係P.5-F.2
個證明係你F.5學左微積分之後就會明。

如果你真係覺得條式太長既話，咁都冇辦法，睇你可以唔可以發明個數學方法等條式冇咁長囉！

橢圓形的周界並沒有準確的公式去計算，但有一些式子可以找到其近似值。

例:
P = p sqrt[ 2(a2+b2) - (a-b)2/2 ]
其中 a 是"" (唔知中文係咩) semi-major axis ，b 是 semi-minor axis

詳細請閱以下網頁(英文，勁難):
http://home.att.net/~numericana/answer/ellipse.htm


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面積:
有一個網可以幫你計:
http://www.csgnetwork.com/areaellipse.html

公式:
Area = Pi * A * B

A, B 等於上一part 的a,b.

橢圓圓體積 = (4/3)*Pi*A*B*C (A, B , C are semi-axes)

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##括着的來自以下網頁:
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10006.3.shtml

An ellipsoid（橢圓體） is a type of quadric surface that is a higher dimensional analogue of an ellipse（橢圓形）. The equation of a standard ellipsoid body in an x-y-z Cartesian coordinate system is
x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
where a and b are the equatorial radii (along the x and y axes) and c is the polar radius (along the z-axis), all of which are fixed positive real numbers determining the shape of the ellipsoid.

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid

(a)橢圓體的體積

要計算橢圓體的體積，必須先要計算橢圓形的面積。

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse and http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html have been introduced about ellipse in detail. By now I only want to tell you about some important properties about the ellipse in an x-y Cartesian coordinate system.

The equation of an ellipse in standard position in an x-y Cartesian coordinate system is
x²/a² + y²/b² = 1
where a and b represent the semimajor axis (or semiminor axis) and the semiminor axis (or semimajor axis) respectively, all of which are fixed positive real numbers determining the shape of the ellipsoid.

∵The ellipse is symmetric abount the x and y coordinate axes.
∴The area of ellipse is
4 ∫(0 to a)│y│dx
= 4 ∫(0 to a) b√(1 – x²/a²) dx
= 4b/a ∫(0 to a) √(a² – x²) dx

Let x = a sin θ , where – π/2 ≦ θ ≦ π/2
We have dx = a cos θ dθ and hence
4b/a ∫(0 to a) √(a² – x²) dx
= 4b/a ∫(0 to π/2) √(a² – a² sin² θ) (a cos θ) dθ
= 4ab ∫(0 to π/2) cos² θ dθ
= 2ab ∫(0 to π/2) (1 + cos 2θ) dθ
= 2ab [θ + (sin 2θ)/2] (0 to π/2)
= πab

現在回到正題，開始計算橢圓體的體積。

橢圓體體積的求法可將橢圓體沿z軸方向分成無數片橢圓形薄片，每片均垂直於z軸。

由於每片橢圓形薄片x軸方向的半徑都是位於橢圓形
x²/a² + z²/c² = 1之內
=> x = a√(1 – z²/c²)
=> x(z) = a√(1 – z²/c²)
由於每片橢圓形薄片y軸方向的半徑都是位於橢圓形
y²/b² + z²/c² = 1之內
=> y = b√(1 – z²/c²)
=> y(z) = b√(1 – z²/c²)
且橢圓體位於z軸方向的位置是由 – c去到c
∴橢圓體的體積
= ∫(– c to c) A(z) dz
= ∫(– c to c) πx(z)y(z) dz
= ∫(– c to c) πa√(1 – z²/c²) × b√(1 – z²/c²) dz
= πab ∫(– c to c) (1 – z²/c²) dz
= πab [z – z³/(3c²)] (– c to c)
= (4/3)πabc

(b)橢圓體的表面面積

這就非常複雜了！

橢圓體表面面積的公式，絕不像球體（equatorial radii a and b（along the x and y axes）= polar radius c（along the z-axis）的橢圓體）表面面積的公式S = 4πr²般簡單，是要用到去到大學先至教的微分幾何。

（本人懂得回答以下部分，並不代表本人懂得微分幾何，本人只是懂得抄而矣。）

The parametric equations of an ellipsoid can be written as
x = a cos θ sin φ
y = b sin θ sin φ
z = c cos φ

for azimuthal angle θ which belongs to [0,2π) and polar angle φ which belongs to [0,π].

In this parametrization, the coefficients of the first fundamental form are
E = (b² cos² θ + a² sin² θ) sin² φ
F = (b² – a²) cos θ sin θ cos φ sin φ
G = (a² cos² θ + b² sin² θ) cos² φ + c² sin² φ

The surface area of an ellipsoid is given by
S = ∫(0 to π) ∫(0 to 2π) √(EG – F²) dθ dφ
= ∫(0 to π) sin φ ∫(0 to 2π) √(a² b² cos² φ + c²(b² cos² θ + a² sin² θ) sin² φ) dθ dφ
= 2√2 b ∫(0 to π) (√(a² + c² + (a² – c²) cos 2φ)) sin φ E{(c/b)[√[(2(b² – a²))/(a² + c² + (a² – c²) cos 2φ)]] sin φ}

Where E(k) = E(π/2 , k) = ∫(0 to π/2) √(1 – k² sin² θ) dθ

http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheSecondKind.html

http://mathworld.wolfram.com/Ellipsoid.html