被動式 be+p.p.

首先分析這句的句法：這座燈籠是由剪裁成三角形的紫色以及藍色的紙做成。燈籠是主詞，is就是be動詞，made到paper整個句子修飾主詞燈籠的結構-紫色和藍色的紙張。
接著是重點了，這些紙張是怎樣呢？是分別被切割成三角形，然後由於已經有be動詞啦！一個句子不可能有兩個動詞，所以在這裡我們由原先的paper which are cut into...(形容詞子句描述紙張的狀態是被切割成三角形)省略成cut into...。cut三態同型，所以在這裡是cut-cut-cut
然後為什麼不用cutting呢？如果用了cutting，變成是敘述兩件事情同時發生：1.燈籠是由紫色和藍色的紙做成的 2.燈籠被切割成三角型。在這裡你覺得意思會搭調嗎？我想不會。這兩種顏色的紙張被切割成三角形，然後才可以做成燈籠。所以是which is cut，再省略which is 之後就是你打的句子嚕^^

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paper 為不可數名詞， 所以， 用的是單數動詞 which is...

這句話翻成中文是說：「這個燈籠是用剪成三角形的紫色和藍色紙張做成的。」句子中的動詞「剪」，在這裡是被動式，因為紙張是被（人）剪裁，所以 cut 需要用被動式 PP，而 cut 的被動式還是 cut，所以這裡是「cut into」。

如果用「cutting into」，就會變成主動，但是紙張不會主動剪裁，只有被人剪的份，所以就會是錯誤用法。

希望有清楚解答你的問題。

The lantern is made of purple and blue paper cut into triangular shapes.

這句話原本應該這樣寫
The lantern is made of purple and blue paper (which is) cut into triangular shapes.
為形容詞子句 (which is cut into triangular shapes)
但省略掉 which is後，變成形容詞片語(p.p.)
此處的 cut 為 p.p.的用法，表示『被動』