咩係質數?20分

質數是一種除了１不可被其他數字整除的數字，例如：

２只可被１整除的數字，所以２是質數

而一些除了１還可以被其他數字整除的，便不是質數，例如：

１５可以被１、３和５整除，所以１５不是質數

唔知你up咩

只可被1及本身除的數

素數，又稱質數，一個大於1的整數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他數整除的自然數；即是只有兩個正因數（1和自己）的自然數。

比1大但不是質數的數稱之為合數又稱合成數，而1和0既非質數也非合數。質數的屬性稱為素性，質數在數論中有著非常重要的地位。

最小的質數是2，也是唯一偶數(雙數),其他都是奇數(單數)而最大的質數並不存在，因有無限多，這一點歐幾里德已在其《幾何原本》中證明。

圍繞質數存在很多的數學問題、數學猜想、數學定理，較為著名的有孿生質數猜想、哥德巴赫猜想等等。

質數序列的開頭是這樣：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113 (OEIS:A000040)
質數集合有時也被表示成粗體 。

在抽象代數的一個分支－環論中，素元素有特殊的含義，在這個含義下，任何質數的加法的逆轉也是質數。換句話說，將整數Z的集合看成是一個環，-Z是一個素元素。不管怎樣，數學領域內，提到質數通常是指正質數。

算術基本定理說明每個正整數都可以寫成質數的乘積，因此質數也被稱為自然數的「建築的基石」例如：


關於分解的詳細方法，可見於整數分解這條目。

這個定理的重要一點是，將1排斥在質數集合以外。如果1被認為是質數，那麼這些嚴格的闡述就不得不加上一些限制條件了。

0由於可以被任何數整除(因餘數一定等於0),所以它不符合素數的定義。


質數的數目
質數是無窮多的，對這個論斷，現在所已知的最古老的檢驗方法是歐幾里德在他的幾何原本中提出來的。他的檢驗方法可以簡單地總結如下：

取有限個數的質數，因為要做自變數我們假設全部的質數都存在，將這些質數相乘然後加1，得到的數是不會被這些質數中的任何一個整除的，因為無論除哪個總會余1。因此這個數要麼本身就是個質數，要麼存在不在這個有限集合內的約數。因此我們開始用的集合不包含所有的質數。
別的數學家也給出了他們自己的證明。歐拉證明了全部質數的倒數和發散到無窮的。恩斯特·庫默的證明尤其簡潔，Furstenberg用一般拓撲證明。

儘管整個質數是無窮的，仍然有人會問「100000以下有多少個質數?」，「一個隨機的100位數多大可能是質數?」。質數定理可以回答此問題。


尋找質數
尋找在給定限度內的質數排列，埃拉托斯特尼篩法法是個很好的方法。然而在實際中，我們往往是想知道一個給定數是否是質數，而不是生成一個質數排列。進而，知道答案是很高的機率就是已經很滿意的了，用素性測試迅速地檢查一個給定數（例如，有幾千位數的長度）是否是質數是可能的。典型的方法是隨機選取一個數，然後圍繞著這個數和可能的質數N檢查一些方程式。重複這個過程幾次後，它宣佈這個數是明顯的合數或者可能是質數。這種方法是不完美的：對某些測試而言，例如費馬測試，不論選取了多少隨機數都有可能將一些合數判斷成可能的質數，這就引出了另一種數偽質數。而像米勒-拉賓測試，雖然只要選取夠多數字來檢驗方程式，就可以保證其檢驗出的質數性是正確的，但這個保證門檻的數量太過龐大，甚至比試除法所需的還要多，在有限時間內運行起來只能知道答案正確的機率很高，不能保證一定正確。

目前最大的已知質數是230402457 − 1（此數字位長度是9,152,052），它是在2005年12月15日由GIMPS發現。這組織也在2005年2月18日發現了目前所知第二大的已知質數225964951 - 1（此數字位長度是7,816,230）。

數學家一直努力找尋產生質數的公式，但截至目前為止，並沒有一個基本函數或是多項式可以正確產生所有的質數。歷史上有許多試驗的例子：17世紀初法國數學家梅森(Mersenne)在他的一個著作當中討論了這樣一種我們現在稱之為梅森質數的質數，Mp=2p - 1，本來以為只要p是一個質數，n = 2p - 1就會是一個質數，這在p = 3，p = 5，p = 7都是正確的，但是p = 11時 就不是質數了。


檢驗質數
檢查一個正整數N是否為質數，最簡單的方法就是試除法，將該數N用小於等於的所有質數去試除，若均無法整除，則N為質數。

2002年，印度人 M. Agrawal 、N. Kayal 以及 N. Saxena 提出了 AKS 質數檢驗演算法，證明了可以在多項式時間內檢驗是否為質數。


未解之謎
哥德巴赫猜想：是否每個大於2的雙數均可寫成兩個質數之和？
孿生質數猜想：孿生質數就是差為2的質數對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生質數？
斐波那契數列是否存在無窮多的質數？
是否存在無窮多梅森質數？
在n2與(n + 1)2之間每隔n就有一個質數？
是否存在無窮個形式如n2 + 1的質數？
黎曼猜想

質數的應用
質數近來被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質數，編碼之後傳送給收信人，任何人收到此信息後，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找質數的過程），將會因為找質數的過程（分解質因數）過久,使即使取得信息也會無意義。