orthogonal matrix

(a) 搵o左 D eigenvalue, λ_1, λ_2, λ_3 同 eigenvector, v_1, v_2, v_3 先 . . . then . . . normalize o左佢o地 . . . 咁應該會做到 P = [v_1, v_2, v_3] 當中 . . .
v_1 = [0, 1, 0]^t
v_2 = (1 / √5) [2, 0, 1]^t
v_3 = (1 / √5) [1, 0, - 2]^t
同埋 . . .
P^(- 1) A P = D = diag[λ_1, λ_2, λ_3] = diag[-2, -1, 4]
(b) 咁樣 . . .
A = P D P^(-1)
A^(2n) =
P D P^(-1) . . . P D P^(-1) = P D^(2n) P^(- 1)
\________ 2 n ________/

= P diag[(-2)^(2n), (-1)^(2n), 4^(2n)] P^(-1)
= P diag[4^n, 1, 16^n)] P^(-1)
對於任意向量 x = [x_1, x_2, x_3]^t . . .
x^t A^(2n) x = x^t P diag[4^n, 1, 16^n)] P^(-1) x
但 P 為 orthogonal，因此 P^(-1) = P^t . . .
x^t A^(2n) x = (P^t x)^t diag[4^n, 1, 16^n)] (P^t x)
跟住再做落去就會做到o架啦 ^^ ~