甚麼是Fibonacci number?

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斐波那契數列

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/FibonacciBlocks.png/180px-FibonacciBlocks.png

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以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形
斐波那契數列（Fibonacci numbers），台灣譯為費伯納西數列。
在數學上，斐波那契數列是以遞歸的方法來定義：

F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn - 1 + Fn - 2
用文字來說，就是斐波那契數列由0和1開始，之後的斐波那契數就由之前的兩數相加。首幾個斐波那契數是（OEIS A000045）：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

目錄

1 源起
2 表達式

2.1 線性代數解法
2.2 近似值
2.3 用電腦求解
3 和黃金分割的關係
4 恆等式
5 相關的數列

5.1 和盧卡斯數列的關係
5.2 反斐波那契數列
5.3 巴都萬數列
6 應用
7 參考
8 參見
9 外部連結

源起
根據高德納的《計算機程序設計藝術》，1150年印度數學家Gopala和Hemachandra在研究箱子包裝物件長闊剛好為1和2的可行方法數目時，首先描述這個數列。在西方，最先研究這個數列的人是比薩的李奧納多（又名斐波那契），他描述兔子生長的數目時用上了這數列。

第一個月有一對剛誕生的兔子
第兩個月之後牠們可以生育
每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
兔子永不死去
假設在n月有新生及可生育的兔子總共a對，n+1月就總共有b對。在n+2月必定總共有a+b對：因為在n+2月的時候，所有在n月就已存在的a對兔子皆已可以生育並誕下a對後代；同時在前一月(n+1月)之b對兔子中，在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育。

表達式
為求得斐波那契數列的一般表達式，可以藉助線性代數的方法。

線性代數解法
1 首先構建一個矩陣方程
設Jn為第n個月新出生的兔子數量，An為這一月份的兔子數量。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/f/a/6fac5c2122b590c76aed21fe4c4e0448.png

上式表達了兩個月之間，兔子數目之間的關係。而要求的是，An+1的表達式。

2 求矩陣的特徵值: λ
行列式：-λ*(1-λ)-1*1=λ²-λ-1
當行列式的值為0，解得λ1=
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/4/f/e4f0faec2cb628809cda8748421fe65e.png

3 特徵向量
將兩個特徵值代入

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/e/e/7ee632f53f33f7b5eced0cf66d97ea91.png
}-
求特徵向量
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/2/f/32fdc49edf74bbace2a97623f586a6fb.png
得

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/b/3/ab32bc432cfec40195ce184f9a2a11cd.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/a/6/3a6359bee1479878921cc23e97e370cb.png

4 分解首向量
第一個月的情況是兔子一對，新生0對。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/d/2/5d26f0b7c7f54dd45ad4d726fe76e92d.png

將它分解為用特徵向量表示。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/c/8/cc80f5820e71659345e5132c3ef11525.png
}- （4）

5 用數學歸納法證明
從

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/1/3/b13715e6c661a962a873288fa7f0fd29.png

可得

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/f/a/ffa30051b9a7e058fd17a5409bf07a0a.png
（5）

6 化簡矩陣方程
將（4）代入（5）

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/a/0/6a08087a30d1e00382906c2e829ad4e6.png
}-
根據 3

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/8/6/4864fe499ff7ad460b6149a5b749930b.png
}-

7 求A的表達式
現在在6的基礎上，可以很快求出An+1 的表達式,將兩個特徵值代入 6 中

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/0/f/a0f6d931bc7df7e8bfa0b06410ebea43.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/c/2/6c2a1f4ba4569b69c9277fb393616190.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/9/3/c9394f393bab2168b0a5fa696783026d.png
(7)
(7)即為An+1 的表達式

近似值

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/b/0/9b08722bd58742ce44a6486344176866.png

用電腦求解
可通過編程觀察斐波那契數列。分為兩類問題，一種已知數列中的某一項，求序數。第二種是已知序數，求該項的值。
可通過遞歸的演算法解決此兩個問題。

和黃金分割的關係
開普勒發現兩個斐波那契數的比會趨近黃金分割：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/1/c/c1cb19039081e752164d4a822c933d86.png

斐波那契數亦可以用連分數來表示：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/e/c/5ec9e81a45182c04df3560660b6a9449.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/3/d/53dbfe657cc258b3519951e19dce8fb2.png

而黃金分割數亦可以用無限連分數表示：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/8/1/5813a55fb904495f226e1c4c6ad8df82.png

恆等式
證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。Fn可以表示成用多個1和多個2相加令其和等於n - 1的方法的數目。例如F0 = 0，表示沒有方法可以加到0。在這裡加的過程中，先後次序不同但使用1和使用2的數目一樣的兩個方法視為不同。例如 1+1+2 和 2+1+1 是兩個不同的方法。

Fn + 1 = Fn + Fn − 1
不失一般性，我們假設n ≥ 1。Fn + 1是計算了將1和2加到n的方法的數目。若第一個被加數是1，有Fn種方法來完成對n-1的計算；若第一個被加數是2，有F(n-1)來完成對n-2的計算。因此，共有Fn + Fn - 1種方法來計算n的值。

F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn + 2 - 1
計算用多個1和多個2相加令其和等於n+1的方法的數目，同時最後一個加數是2的情況。
如前所述，當n ≥ 0，有Fn + 2種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2，就即 1 + 1 + ... + 1　（n+1項），於是我們從Fn + 2減去1。

若第1個被加數是2，有Fn個方法來計算加至n-1的方法的數目；
若第2個被加數是2、第1個被加數是1，有Fn - 1個方法來計算加至n − 2的方法的數目。
重複以上動作。
若第n + 1個被加數為2，它之前的被加數均為1，就有F(0)個方法來計算加至0的數目。
若該數式包含2為被加數，2的首次出現位置必然在第1和n+1的被加數之間。2在不同位置的情況都考慮到後，得出Fn + Fn - 1 + ... + F0為要求的數目。

F1 + 2F2 + 3F3 + ... + nFn = nFn + 2 - Fn + 3 + 2

F1 + F3 + F5 + ... + F2n - 1 = F2n
F2 + F4 + F6 + ... + F2n = F2n + 1 - 1

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/d/e/9de260182cad362fcdebbac5e4dd2028.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/7/4/d74f4f0e323bab81047d942fb26b9f84.png

相關的數列
斐波那契數列是盧卡斯數列的特殊情況。或是斐波那契n步數列步數為2的情形。

和盧卡斯數列的關係

反斐波那契數列
反斐波那契數列的遞歸公式如下：

Gn + 2 = Gn − Gn + 1
如果它以1,-1，之後的數是：1,-1,2,-3,5,-8, ...
即是F_{2n+1} = G_{2n+1}，F_{2n} = - G_{2n}。
反斐波那契數列兩項之間的比會趨近
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/d/c/5dc21b00610b5fb4665262dacbb7ce0f.png
。

巴都萬數列
斐波那契數列可以用一個接一個的正方形來表現，巴都萬數列則是用一個接一個的等邊三角形來表現，它有Pn + 2 = Pn − 2 + Pn − 3的關係。

應用
1970年，Yuri Matiyasevich 指出了偶角標的斐波那契函數

y = F2x
正是滿足 Julia Robison 假設的丟番圖函數，因而證明了希爾伯特第十問題是不可解的。

參考

Donald E. Knuth: THE ART OF COMPUTER PROGRAMMING Volume 1/Fundamental
Algorithms. 第一章第 1.2.8 節《斐波那契數》。

本頁的英語、德語和日語版本

參見

齊肯多夫定理

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