黃金比是什麼

2007-07-02 3:52 am
可否用數百字,不多於一千字,來講解一下黃金比是什麼?
最好包括其應用及例子

回答 (3)

2007-07-02 3:56 am
✔ 最佳答案
你聽過黃金分割嗎?黃金分割是一個比例(ratio)。把一條直線分為兩部份,一份較短(設為一米),另一份較長(設為x米),直線的總長即(1+x)米。短的一份與長的一份比例為 。而長的一份,與直線的總長,比例則為 。如果兩個比例相等,那麼,這條直線就是按黃金比例分割。x的數值,可從下列二次方程式中解得:

x = 1
1+x x


x2 - x- 1= 0

x = 1+ 0.5x51/2

x = 1.618 或 -0.618

把線條按1比1.618的比例分割,究竟有什麼特別?要找到答案,我們就要追朔到公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯(Pathagoras)。對於畢氏,相信讀者一定不會感到陌生。Pathagoras theorem(畢氏定理),即任何直角三角形的斜邊二次方值,等於另兩邊的二次方和(即 c2 = a2 + b2),是任何中學生都認識的幾何定理。有趣的是,此定理原來在畢氏出生前一千年已廣為人知,並非源出於他。相反,許多人不知道的是,在古希臘年代,他是以始倡黃金分割馳名的。
古埃及人發明幾何,但他們對數字興趣不大。數字對他們來說,主要就是一件用來數算日子,與量度土地的工具。古希臘人秉承古埃及人的智慧,發揚光大,很快就青出於藍,比起他們的啟蒙老師,他們對數字就嚴肅得多,對他們來說,數字不單止是數字,數字還蘊含著豐富的哲學內涵,甚至與哲學有不可分割的關係。
由於古希臘人秉承了古埃及人在幾何學上研究的成果,他們就沉醉於研究數字與形狀的關係。因而就出現了大家熟悉的形狀數字,如方形數字(square numbers :1,4,9,16等),和三角形數字(triangle numbers :1,3,6,10等)。(圖5)
畢達哥拉斯是當代著名的思想家、哲學家和數學家,他自然就是這方面研究的佼佼者。相傳,有一天當他把單弦琴弦線在約五分之二長度的地方用承托托著時,兩邊就能彈出極之美妙的和音,他就把這比例命名為「完美的五分」(a perfect fifth)。對沉醉數學的畢氏來說,玩單弦琴並非為奏樂,而是研究數學的一個行為。他想,弦線既然可擁有一個完美的分割點(或作比例),那麼所有線條、形狀、物體、萬事萬物,乃至宇宙,是否都應該有同一個完美的比例。這比例既然能表現音樂的完美,是否也能表現線條、形狀、物體、乃至宇宙萬事萬物的完美呢?
畢氏從事了多方面的研究,其中包括天文、美學、音樂、數學、和自然學,去證明他對這一個完美的比例的信念。他和古希臘的許多數學家,窮畢生精力去研究比例,他們把美妙的比例分為十級,最高級的,亦即最美麗的比例,就是上文所述的黃金分割。
畢氏的偉大,在於他觀察入微。宇宙萬物,所有的動物,包括人類,天上的飛鳥,以至海裏的魚,昆虫等,擁有完美比例者其實俯拾皆是,常人察身而過,稍具藝術觸角者在欣賞之餘,可能會驚歎一聲造物之奇妙,而畢氏憑著他那超人敏銳的觀察力,把宇宙賦與萬物的美,予以歸納,並系統的展現出來,給予許多的藝術家,數學家,建築師,以至工程師等靈感的泉源,創造了無數令人歎為觀止的作品。
除了圖示的例子,還有金字塔的高度與底部邊長成黃金比例;你每天看的報章,無論你把它對摺多少次,它的長闊比都呈現黃金比例;人體結構有更多的黃金比例的例子,如人體(總身高)的黃金分割點就在肚臍。面部(總面長)的黃金分割點在眼眉。眼至下巴的黃金分割點在鼻孔位置。你能從你的週圍,找出更多的黃金比例嗎?
畢氏只是闡述了那直向、上與下的,以及平面的長與闊的「完美」比例。其實,完美的比例又何止十級?一隻小小的甲蟲,花叢中翩翩起舞的蝴蝶,天空中飛翔的兀鷹,完美的人體,以至所有的生物,不都擁有橫向的左右對稱,一比一,更完美的比例嗎?而那些宏偉的古建築,如巴特農神殿(圖10),以至中國的故宮,印度的泰姬陵,或近代巴黎的凱旋門,又是否建築師們從這左右對稱的完美比例得到靈感設計而成?我相信答案是肯定的。只是我們習以為常,不以為意,忽略了那最平凡,但又最完美的比例!
2007-07-14 5:29 am
is 1:16 no1:16.18
2007-07-02 6:48 am
當長線段與短線段之比等於全線長與長線段之比時,記作 φ,就是黃金比例,其數值約是 1.6180339887....,代數值是 x2-x-1=0 的正解。歐幾里德當初只是為了幾何推導的方便才定義出這個比例,可是,黃金比例不但在神秘主義的五角星形出現,它還在數學與藝術的領域大放異彩!最重要的,黃金比例還隱藏在神奇的斐波那契數列(Fibonacci Sequence )之中,因而它與大自然的演化動力學發生密切的關聯——無論是植物的葉序、向日葵小花的排列、螺旋星系的漩渦、鸚鵡螺的美麗貝殼、物質結構的準晶體,以及非週期性鋪磚、兔子繁殖問題與股市的波動起伏等等,各種風馬牛不相及的現象之中,都看得到「黃金比例」與「斐波那契數列」的蹤影。

  斐波那契數列是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …… 從第三項開始, 每一項等於前兩項的和,也就是 Fn+2=Fn+1+ Fn, 其中 Fn 代表序列的第 n 個數字,例如 144=89+55。 當 n 趨近於無限大,Fn+1 / Fn 越接近黃金比例的值,例如 144 / 89=1.617 ...!這個證明需要藉助到黃金比例的連分數變形,斐波那契數列許多令人意想不到的特性。玫瑰花瓣一片一片地拆開,花瓣層層相疊的,其中按照的數學規則便是斐波那契數列的傑作,同樣的現象也可以在松樹毬果殼的鱗片排列中看到,就連鸚鵡螺貝殼的生長模式也受到黃金比例的調教!為什麼會這樣呢?這是牽涉到演化動力學的問題,

  黃金比例不只出現在大自然裡,自從在文藝復興時期,黃金比例被譽為是「神的比例
」之後,它還在若干藝術家、建築師、設計師的作品中嶄露頭角。例如,達文西在繪畫與數學的探索裡應用了黃金比例,又例如,達利在一九五五年的畫作《最後的晚餐》突顯的立體景深,還有一個例子是,義大利設計家莫茲在一九八七年將斐波那契數列創作成《衝擊波》。但是真的如某些研究所說的,諸如《聖母的榮耀》、《蒙娜麗莎》等等畫作,諸如大金字塔、巴特農神殿等古代建築結構是根據黃金比例來設計的嗎?《黃金比例
》這本書的作者提出了以上的質疑。作者指出:我們看到很多例子,顯示黃金比例的熱衷者檢視了許多視覺藝術作品或建築物的比例,以求能夠發現黃金比例的應用

  黃金比例這類的數學常數,在許多領域裡——從宇宙的基礎理論、生物的成長型態到股票市場——都扮演著關鍵性的角色?這也是愛因斯坦曾經提過的問題:數學,一個獨立於經驗之外的人類思想成果,怎麼可能與實際的物理現象契合得如此天衣無縫?而最令人震驚的是:為什麼物理定律本身可以用數學方程式來表達?難道正如古希臘的畢氏學派的格言所說:「所有的一切都是數字」?
  我們要與宇宙另一邊的外星智慧文明溝通,把黃金比例 1.6180339887... 這個數字傳送過去,它們肯定瞭解我們的意思,也就是說,這個觀點認為:宇宙本身把同樣客觀的數學理型加諸於大家身上
  


收錄日期: 2021-04-26 19:15:19
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070701000051KK03836

檢視 Wayback Machine 備份