✔ 最佳答案
你聽過黃金分割嗎?黃金分割是一個比例(ratio)。把一條直線分為兩部份,一份較短(設為一米),另一份較長(設為x米),直線的總長即(1+x)米。短的一份與長的一份比例為 。而長的一份,與直線的總長,比例則為 。如果兩個比例相等,那麼,這條直線就是按黃金比例分割。x的數值,可從下列二次方程式中解得:
x = 1
1+x x
x2 - x- 1= 0
x = 1+ 0.5x51/2
x = 1.618 或 -0.618
把線條按1比1.618的比例分割,究竟有什麼特別?要找到答案,我們就要追朔到公元前六世紀古希臘數學家畢達哥拉斯(Pathagoras)。對於畢氏,相信讀者一定不會感到陌生。Pathagoras theorem(畢氏定理),即任何直角三角形的斜邊二次方值,等於另兩邊的二次方和(即 c2 = a2 + b2),是任何中學生都認識的幾何定理。有趣的是,此定理原來在畢氏出生前一千年已廣為人知,並非源出於他。相反,許多人不知道的是,在古希臘年代,他是以始倡黃金分割馳名的。
古埃及人發明幾何,但他們對數字興趣不大。數字對他們來說,主要就是一件用來數算日子,與量度土地的工具。古希臘人秉承古埃及人的智慧,發揚光大,很快就青出於藍,比起他們的啟蒙老師,他們對數字就嚴肅得多,對他們來說,數字不單止是數字,數字還蘊含著豐富的哲學內涵,甚至與哲學有不可分割的關係。
由於古希臘人秉承了古埃及人在幾何學上研究的成果,他們就沉醉於研究數字與形狀的關係。因而就出現了大家熟悉的形狀數字,如方形數字(square numbers :1,4,9,16等),和三角形數字(triangle numbers :1,3,6,10等)。(圖5)
畢達哥拉斯是當代著名的思想家、哲學家和數學家,他自然就是這方面研究的佼佼者。相傳,有一天當他把單弦琴弦線在約五分之二長度的地方用承托托著時,兩邊就能彈出極之美妙的和音,他就把這比例命名為「完美的五分」(a perfect fifth)。對沉醉數學的畢氏來說,玩單弦琴並非為奏樂,而是研究數學的一個行為。他想,弦線既然可擁有一個完美的分割點(或作比例),那麼所有線條、形狀、物體、萬事萬物,乃至宇宙,是否都應該有同一個完美的比例。這比例既然能表現音樂的完美,是否也能表現線條、形狀、物體、乃至宇宙萬事萬物的完美呢?
畢氏從事了多方面的研究,其中包括天文、美學、音樂、數學、和自然學,去證明他對這一個完美的比例的信念。他和古希臘的許多數學家,窮畢生精力去研究比例,他們把美妙的比例分為十級,最高級的,亦即最美麗的比例,就是上文所述的黃金分割。
畢氏的偉大,在於他觀察入微。宇宙萬物,所有的動物,包括人類,天上的飛鳥,以至海裏的魚,昆虫等,擁有完美比例者其實俯拾皆是,常人察身而過,稍具藝術觸角者在欣賞之餘,可能會驚歎一聲造物之奇妙,而畢氏憑著他那超人敏銳的觀察力,把宇宙賦與萬物的美,予以歸納,並系統的展現出來,給予許多的藝術家,數學家,建築師,以至工程師等靈感的泉源,創造了無數令人歎為觀止的作品。
除了圖示的例子,還有金字塔的高度與底部邊長成黃金比例;你每天看的報章,無論你把它對摺多少次,它的長闊比都呈現黃金比例;人體結構有更多的黃金比例的例子,如人體(總身高)的黃金分割點就在肚臍。面部(總面長)的黃金分割點在眼眉。眼至下巴的黃金分割點在鼻孔位置。你能從你的週圍,找出更多的黃金比例嗎?
畢氏只是闡述了那直向、上與下的,以及平面的長與闊的「完美」比例。其實,完美的比例又何止十級?一隻小小的甲蟲,花叢中翩翩起舞的蝴蝶,天空中飛翔的兀鷹,完美的人體,以至所有的生物,不都擁有橫向的左右對稱,一比一,更完美的比例嗎?而那些宏偉的古建築,如巴特農神殿(圖10),以至中國的故宮,印度的泰姬陵,或近代巴黎的凱旋門,又是否建築師們從這左右對稱的完美比例得到靈感設計而成?我相信答案是肯定的。只是我們習以為常,不以為意,忽略了那最平凡,但又最完美的比例!