有關默森質數

[編輯] 定義
梅森數是指形如2n − 1的數，記為Mn；如果一個梅森數是質數那麼它稱為梅森質數。

梅森數是根據17世紀法國數學家馬蘭·梅森的名字命名的，他列出了n < 257的梅森質數，不過他錯誤地包括了不是質數的M67 和M257，而遺漏了M61、M89 和M107。

例

M2 = 22 − 1 = 3、M3 = 23 − 1 = 7 是質數。
M4 = 24 − 1 = 15 不是質數。
相關命題和定理

[編輯] 梅森數和梅森質數的性質


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。

q ≡ 3 mod 4 為質數。則2q+1也是質數若且唯若2q+1 整除Mq。

拉馬努金給出：方程Mq = 6+x2當q為3、5和7時有三個解；q為合數時有2個解。
[編輯] 梅森數和梅森質數的關係
下面的命題關注什麼樣的梅森數是梅森質數。

由
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/2/4/3244a4048d168749a5bbe90b2fd0be29.png
}-知：q是質數是Mq是質數的必要條件。但這不是充分的。M11 = 211 − 1 = 23 × 89 是個反例。
對Mq（q是質數）有：

若a是Mq的因數，則a有如下性質：

a ≡ 1 mod 2q
a ≡ ±1 mod 8
歐拉的一個關於形如1+6k的數的理論表明：Mq是質數若且唯若存在數對(x,y)使得 Mq = (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一個對於d=3情況下的新的證明方法。
Reix 發現q > 3時，Mq可以寫成：Mq = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。顯然，若存在一個數對(x,y)，那麼Mq是質數。
梅森數的素性檢驗

盧卡斯-萊默檢驗法是現在已知的檢測梅森數素性的最好的方法。

該方法由愛德華·盧卡斯於1878年發現，並由萊默1930年代作了改進，因此得名。
該方法基於循環數列的計算，其原理是：

Mn為質數若且唯若Mn整除Sn-2（S0=4，Sk = Sk − 12 − 2，k > 0）。

與完全數的關係

梅森質數與偶完全數有一一對應的關係。

前4世紀，歐幾里德(Euclid)證明如果M是梅森質數，那麼M(M+1)/2是完全數。
18世紀，歐拉(Euler)證明所有的偶完全數都有這種形式。
梅森質數列表
下面表中列出了所有已知的梅森質數：（OEIS中的數列A000668）




#
n
Mn
Mn的位數
發現日期
發現者

1
2
3
1
古代
古人

2
3
7
1
古代
古人

3
5
31
2
古代
古人

4
7
127
3
古代
古人

5
13
8191
4
1456年
無名氏

6
17
131071
6
1588年
Cataldi

7
19
524287
6
1588年
Cataldi

8
31
2147483647
10
1772年
歐拉

9
61
2305843009213693951
19
1883年
Pervushin

10
89
618970019…449562111
27
1911年
Powers

11
107
162259276…010288127
33
1914年
Powers

12
127
170141183…884105727
39
1876年
盧卡斯

13
521
686479766…115057151
157
1952年1月30日
Robinson

14
607
531137992…031728127
183
1952年1月30日
Robinson

15
1,279
104079321…168729087
386
1952年6月25日
Robinson

16
2,203
147597991…697771007
664
1952年10月7日
Robinson

17
2,281
446087557…132836351
687
1952年10月9日
Robinson

18
3,217
259117086…909315071
969
1957年9月8日
Riesel

19
4,253
190797007…350484991
1,281
1961年11月3日
Hurwitz

20
4,423
285542542…608580607
1,332
1961年11月3日
Hurwitz

21
9,689
478220278…225754111
2,917
1963年5月11日
Gillies

22
9,941
346088282…789463551
2,993
1963年5月16日
Gillies

23
11,213
281411201…696392191
3,376
1963年6月2日
Gillies

24
19,937
431542479…968041471
6,002
1971年3月4日
Tuckerman

25
21,701
448679166…511882751
6,533
1978年10月30日
Noll & Nickel

26
23,209
402874115…779264511
6,987
1979年2月9日
Noll

27
44,497
854509824…011228671
13,395
1979年4月8日
Nelson & Slowinski

28
86,243
536927995…433438207
25,962
1982年9月25日
Slowinski

29
110,503
521928313…465515007
33,265
1988年1月28日
Colquitt & Welsh

30
132,049
512740276…730061311
39,751
1983年9月20日
Slowinski

31
216,091
746093103…815528447
65,050
1985年9月6日
Slowinski

32
756,839
174135906…544677887
227,832
1992年2月19日
Slowinski & Gage

33
859,433
129498125…500142591
258,716
1994年1月10日
Slowinski & Gage

34
1,257,787
412245773…089366527
378,632
1996年9月3日
Slowinski & Gage

35
1,398,269
814717564…451315711
420,921
1996年11月13日
GIMPS / Joel Armengaud

36
2,976,221
623340076…729201151
895,932
1997年8月24日
GIMPS / Gordon Spence

37
3,021,377
127411683…024694271
909,526
1998年1月27日
GIMPS / Roland Clarkson

38
6,972,593
437075744…924193791
2,098,960
1999年6月1日
GIMPS / Nayan Hajratwala

39
13,466,917
924947738…256259071
4,053,946
2001年11月14日
GIMPS / Michael Cameron

40*
20,996,011
125976895…855682047
6,320,430
2003年11月17日
GIMPS / Michael Shafer

41*
24,036,583
299410429…733969407
7,235,733
2004年5月15日
GIMPS / Josh Findley

42*
25,964,951
122164630…577077247
7,816,230
2005年2月18日
GIMPS / Martin Nowak

43*
30,402,457
315416475…652943871
9,152,052
2005年12月15日
GIMPS / Curtis Cooper及Steven Boone

44*
32,582,657
124575026…053967871
9,808,358
2006年9月4日
GIMPS / Curtis Cooper及Steven Boone

所謂的質數，就是一個正整數，除了１和本身以外，沒有別的數能夠把他整除的數。

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89