圓周率的故事

引言

在很久以前，人們就發現當圓的直徑增加，圓周的長度也會相對地增加；甚至他們知道，圓周是隨著直徑，按著一個比例而變化的。粗略計算下，圓的周長大約等於直徑的三倍多一點。我國古代稱之為「徑一周三」﹔而《聖經》也把圓周與直徑的比率（即我們現在所說的圓周率）算作為 3。
多邊形面積逼近法

阿基米德的《圓的度量》

最早試圖從圓面積去求圓周率的人是阿基米德（Archimedes，公元前287 - 前212）。他意識到圓形的面積可以用多邊形的面積來逼近：只要我們作一個外切於圓形的正多邊形，再作一個內接於圓形的正多邊形，則圓的面積介乎外切正多邊形的面積與內接正多邊形的面積之間；換句話說，我們可以由此得到一個圓面積的上限和下限。而且當正多邊形的邊數的不斷增加，則圓的面積與兩個正多邊形的面積便越來越接近，即我們對圓面積的估計的誤差越來越少。從他編寫的《圓的度量》一書中，他初步提出圓周率約為 22/7。

劉徽的「割圓術」

公元 220 年，中國魏晉時代的劉徽提出一種求圓面積的方法，名為「割圓術」。方法是這樣的：在圓周上截取一些點把圓周等分，然後順序連接這些點，組成內接正多邊形。當等分點取得越密，內接正多邊形的面積與圓面積就越接近，只要這種分割，無限地進行下去，就可以獲得圓面積的值。這時的圓周率約為 3.14。

祖沖之的突破

另外，祖沖之（430 - 501）亦在公元 480 年得出圓周率為 355/113。有人計算過，假設地球是一個正球體，其直徑正好等於 8000 英里，那麼用 355/113 計算地球周長的話，其誤差只有 11 英尺，即使用人造衛星來測量，也未能提供比這更精確的數值。

魯道爾夫得 35 位數字的 p

1610 年，荷蘭數學家魯道爾夫（Ludolph van Ceulen，1540 - 1610）計算了正 262 邊形的面積，正確地得出了 p 的 35 位數字。後人為了紀念他的奮鬥精神和他為計算 p 的值所作的貢獻，在他的墓碑刻上了以下結果﹕

。



用無限項乘積表示的 p

韋達無限項乘積表示的 p

1579 年，法國數學家韋達（François Viète，1540 - 1603）成為首位用無限項乘積表示 p 的數學家，是為計算 p 值的一次突破。他通過計算直徑為 1 的圓的內接正 4、8、16、…… 邊形的面積，得出了 p 的一個表達公式。

他發現直徑為 1 的圓的內接正方形的面積可以表達成︰

；

接著，同一個圓的內接正八邊形的面積可以表達成︰

；

韋達發現當內接於圓的正多邊形的邊數不斷以兩倍增大時，它的面積表達式應該是︰

。

那麼，

。

此結果命名為「韋達公式」。

韋達的突破，雖然是了不起，但由於在實際計算中不免要碰到多次開方，這也甚為麻煩。

渥里斯的突破

1655 年，英國數學家渥里斯（John Wallis，1616 - 1703），再次得出 p 的無限項乘積表達式︰

。

這明顯比韋達的公式簡潔得多。



以無限級數表達的 p

上面所說的都是用無限項的乘積來表示圓周率，以下則討論數學家怎樣用無限項的和來表示圓周率。

格里哥利的「格里哥利展開式」

1671年，英國數學家格里哥利（James Gregory，1638 - 1675）發現了著名的「格里哥利」展開式︰



代入 x = 1，得到︰

。

計算前兩個分數，可得 ﹔計算三項，可得 ﹔計算四項，可得 。利用這種計算方法，要計算五千項，所得到 p 的值才精確到五位。雖然速度很慢，卻是計算 p 值的第二次歷史性突破。

馬淇公式

1706 年，英國天文學家馬淇（John Machin，1680 - 1751）發現︰

。

再根據格里哥利展開式，得出︰

。

根據這結果，只要計算前面六項，就能得出 p 的 100 位數字。

無限級數的突破

其後，亦有多位數學家做出更多位的 p 值。例如：1794 年，英國喬治．威加（von Vega，1754 - 1802）算到 p 的 140 位（但只有 136 位正確）；1841 年，魯德福特（William Rutherford）計算到 p 的 208 位（但只有 152 位正確）；1847 年，克勞森（Thomas Clausen，1801 - 1885）計算到 p 的 248 位；1873 年，英國威廉．謝克斯（William Shanks，1812 - 1882）更算到 p 的 707 位（但只有 527 位正確）；而更高的紀錄為英國費格森（D. F. Ferguson）和美國雷恩奇（J. W. Wrench）所創，在 1948 年共同發表的 808 位。



計算機的奇蹟

電腦的出現，為 p 值的計算帶來了很大的突破。電腦所用的還是原來的那一套公式，只是因為電腦計算速度快，因此它能計算出單憑人力所不能計算到的數位。

直至 2003 年，電腦已能把 p 的值計算到小數點後超過一兆二千億位。

1. 「起」
「起」是圓周率的起源，究竟誰先發現它？
中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。
在這段期間，人們都是為生活而作計算，鮮有為圓周率而找圓周率。他們的發現多源自經驗 (實際量度) 所得，對圓周率的興趣只在於它在建築及工程上的應用，最多也只是想找出圓周率的值是多少。

2.「承」

「承」是承繼安提豐和布賴森的「窮舉法」而發展的一個時期：以「多邊形」找尋圓周率的值。

古希臘：

一位影響深遠的西方數學家：阿基米德

古希臘西那庫斯的阿基米德（Archimedes of Syracuse，公元前 287 - 212 年），是第一個有系統地找出圓周率的近似值和圓周率的上下限的數學家。他採用了安提豐和布賴森的「窮舉法」，但他的研究重點則在多邊形的周界。阿基米德在《圓的度量》（The Measurement of the Circle）中，提出三個有關圓的定理。

3.「p」符號的出現

「p」是希臘的第十六個字母。第一個使用「p」的數學家是奧特雷德（William Oughtred，1574 - 1660 年），他以「」表示圓周率，原因是「p」和「d」分是希臘文圓周和直徑的第一個字母。 直至 1706 年，英國的鐘斯（William Jones，1675 - 1749 年）才首次以「p」表示圓周率。後來，偉大的數學家歐拉（Euler，1707 - 1783 年）把以「p」表示圓周率的符號引入他在 1748 年發表的《無窮分析導論》（Introduction to the Analysis of the Infinite），使「p」用以表示圓周率的概念得以推廣及風行。
4. 「接」

「接」是緊接著以上發現的很多計算圓周率值的公式所延伸的一個時期：隨著科技的突飛猛進，電腦的發明，令圓周率的計算速度有了新的突破。

第一次電腦的突破

在 1949 年，里特韋斯納（George Reitwiesner）、馮紐曼 （John von Neumann）和梅卓普利斯（N. C. Metropolis）利用在 1948 年美國製造的 ENIAC （電子數字求積器和計算機，Electronic Numerical Integrator and Computer），運用梅琴的反正切級數計算圓周率的值，花了 70 小時，計算出 2037 個小數位的 p 值。

位數急升！！！
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 ...