我想問~!!!

1.
1 + x^2 + x^3 + ... + x^1999
= (1 + x + ... + x^4) + x^5(1 + x + ... + x^4) + ... + x^1995(1 + x + ... + x^4)
= 1 (0) + x^5 (0) + x^1995 (0)
= 0

2.
2x > y > 0, so y + 2 > y > 0, x + 1 > x > 0, y(y + 2) > 0
A - B
= x / y - (x + 1)/(y + 2)
= [ x(y + 2) - y(x + 1) ] / y(y + 2)
= [ xy + 2x - xy - y ] / y(y + 2)
= (2x - y) / y(y + 2)
> 0 因為 2x > y 和 y(y + 2) > 0
所以, A > B

3.

abc
-------------------
ab + bc + ca

1
= ----------------------------------------
ab / abc + bc / abc + ca / abc
2
= -------------------------- <---- 技巧
2 / a + 2 / b + 2 / c
2
= --------------------------------------------------------------
(1 / a + 1 / b) + (1 / b + 1 / c) + (1 / c + 1 / a)
2
= --------------------------------------------------------------------
( (a + b) / (ab) ) + ( (b + c) / (bc) ) + ( (a + c) / (ac))
2
= ------------
3 + 4 + 5
= 1 / 6

4.
設 u = 2^(x+y) > 0, v = 3^(x-y) > 0
2^(2(x+y)) + 3^(2(x-y)) - 2 * 2^(x+y+1) - 54 * 3^(x-y-1) + 7
= u² + v² - 4u - 18v + 7
= (u² - 4u + 4) + (v² - 18v + 81) - 78
= (u - 2)² + (v - 9)² - 78
≥ - 78
等式成立當且僅當 u = 2 及 v = 9
當且僅當
2^(x + y) = 2
3^(x - y) = 9
即是
x + y = 1
x - y = 2
x = 3 / 2, y = - 1 / 2

5.
√(1 + x² + x^4) - √(1 + x^4)
設 f (x) = --------------------------------------
x
┌√(1 + x^4) - √(1 + x² + x^4)  ┐
f '(x) = (x^4 - 1) ￨------------------------------------------￨
└x√(1 + x² + x^4)√(1 + x^4)┘

所以，f '(x) = 0 ==> x^4 = 1 或 1 + x^4 = 1 + x² + x^4
 ==> x = ±1 或 0 (捨去)
x < 1, f '(x) > 0, x > 1, f '(x) < 0 ==> f (1) = √3 - √2 是局部最大
x < -1, f '(x) < 0, x > -1, f '(x) > 0 ==> f (-1) = √2 - √3 是局部最小
因此，最大值是 √3 - √2

6.
設該長方體的長、闊、高分別為 x, y, z。
最小化 體積和 = x³ + y³ + z³
限制於 xyz = 666, x, y, z > 0
設 f (x, y, z, λ) = x³ + y³ + z³ - λ(xyz - 666)
通過偏微分，
3x² - λyz = 0==>λ = yz / 3x²
3y² - λxz = 0==>λ = xz / 3y²
3z² - λxy = 0==>λ = xy / 3z²
666 - xyz = 0
所以，yz / 3x² = xz / 3y² = xy / 3z²
因此，x = y = z = ³√666，(嚴謹一點須用 Hessian matrix，看是否 positive definite)
體積和的最小值 = 3 ( ³√666)。

7.
Δ = [ 2(2a - 1) ]² - 4a[ 4(a - 3) ] = 4(8a + 1) 是平方數，否則連有理數根也沒有。
換言之，8a + 1 是平方數，且其平方根能被 a 整除，a = 1 符合條件。
(因為題目沒有說要求 a 的所有值，故不須庸人自擾。)
所以，另一個不太好的答案是：
代 a = 1，方程為 x² + 2x - 8 = 0, x = 2 或 -4。因此 a = 1。

8.
現在，b + c = 8，c = 8 - b，bc = b(8 - b) = -(b - 4)² + 16 ≤ 16
還有 a² - 12a + 52 = (a - 6)² + 16 ≥ 16
a² - bc - 12a + 52 = 0, 所以 16 ≤ a² - 12a + 52 = bc ≤ 16
因此 bc = 16 及 b + c = 8，得出 b = c = 4。
所以，ΔABC 是等腰三角形。

2007-06-21 17:09:44 補充：
我後來想了一想，第 6 題可以用 A-level 的程度來解決：6.設該長方體的長、闊、高分別為 x, y, z > 0。根據 AM-GM 不等式，我們有x³ y³ z³---------------- ≥ ³√(x³y³z³)3x³ y³ z³ ≥ 3xyz = 3 x 666 = 1998等式成立當且僅當 x = y = z = ³√666因此，體積和的最小值 = 1998。

2007-06-21 17:10:07 補充：
上面第 6 題的最後一句錯了，不好意思。上述方法是著名的「Lagrange's multiplier for optimisation problem」，於許多領域都有應用。

2007-06-21 17:11:38 補充：
6.設該長方體的長、闊、高分別為 x, y, z > 0。根據 AM-GM 不等式，我們有x³ + y³ + z³---------------- ≥ ³√(x³y³z³)3x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz = 3 x 666 = 1998等式成立當且僅當 x = y = z = ³√666因此，體積和的最小值 = 1998。

1. 答案係 0 。
2. x/y 比較大， 代入 x=y=1 。
3.
4.
5. √ (y+1) -√ y 的最小值為 y在最小值時，所以 x= 1/√ 2
6. 最小值為 3(666)^(1/3)
7. gcd{ 2(2a-1), 4(a-3)} =a =2
8. bc=.... b+c=8 , 得二次方程，証明判別式=0 , 得 b=c=4

第一題：＝0

Q1.
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 +x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + ..... +X^1999
= (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) + x^5(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) + x^10(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) + ... + x^1995(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
= 0