通項, 仲有係點樣知個通項

1. a.

T1 = 1 = 1/1²
T2 = 1/4 = 1/2²
T3 = 1/9 = 1/3²
T4 = 1/16 = 1/4²
T5 = 1/25 = 1/5²

So, the nth term, Tn

= 1/n²


b. So, the 8th term, T8

= 1/8²

= 1/64


2. a.

T1 = 2 = 3 - 1 = 3 - 1²
T2 = -1 = 3 - 4 = 3 - 2²
T3 = -6 = 3 - 9 = 3 - 3²
T4 = -13 = 3 - 16 = 3 - 4²
T5 = -22 = 3 - 25 = 3 - 5²

So, the nth term, Tn

= 3 - n²


b. So, for the following three terms,

the 6th term, T6 = 3 - 6² = -33

the 7th term, T7 = 3 - 7² = - 46

the 8th term, T8 = 3 - 8² = -61



3. a.

T1 = -2 = -2 + 0 = -2 + 0(2) = -2 + (1 - 1)(2)
T2 = 0 = -2 + 2 = -2 + 1(2) = -2 + (2 - 1)(2)
T3 = 2 = -2 + 4 = -2 + 2(2) = -2 + (3 - 1)(2)
T4 = 4 = -2 + 6 = -2 + 2(3) = -2 + (4 - 1)(2)
T5 = 6 = -2 + 8 = -2 + 2(4) = -2 + (5 - 1)(2)
T6 = 8 = -2 + 10 = -2 + 2(5) = -2 + (6 - 1)(2)

So, the nth term, Tn

= -2 + (n - 1)(2)

= 2n - 4


b. for the following three terms,

the 7th term, T7

= 2(7) - 4 = 10

the 8th term, T8

= 2(8) - 4 = 12

the 9th term, T9

= 2(9) - 4 = 14

其實求一個數列的通項是沒有必然的方法。

如第一條的數列，重點是你能看出將每項寫成分數後，每項的分子都是1，所以只須要找出分母的規律。現在分母是1, 4, 9, 16, 25,... 。如果你數字感強的話，就可以看出它其實是1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2，即是正方形數，而正方形數的通項是n^2。所以原來數列的通項是1/n^2。

又例如第二條，驟眼看上去你只能看到它的規律是將前一項減去一個單數，如-1等如2-3，-6等如-1-5...。但如果你將它的的差寫出來，即是 3, 5, 7, 9, ...。再看看正方形數列，它每項的差就正正是3, 5, 7, 9, ...。所以可以知道這兩個數列有一定的關係，因此試試比較這兩個數列從而得出想要的結果。

首先，正方形數列的規律是加的，所以要變成減最簡單的做法是將每一項乘以-1，即-1, -4, -9, -16, -25,...。跟著再將兩個數列比較，就可以發現每項是相差3。所以可以得到原來數列的通項是-n^2+3。

不過，如果數列的規律是比較簡單的話，例如是將前一項加、減、乘或除以某數，那就可以作另一個有同樣規律但有簡單通項的數列作比較。

以第三條為例。現在數列的規律是將前一項加上2。所以我們可以作一個有這個規律(加上2)的數列出來作比較。最簡的，就是以2為首項，再用上這個規律(即加上2)作出其餘的項，即2, 4, 6, 8, 10, 12,...(2的倍數)。由於2的倍數的第n項是2n，所以這個新作出來的數列的通項就是2n。另外，當我們比較這兩個數列時，你會發現它們對應每項只是相差4，所以我們就可以得到原來數列的通項是2n-4。

說到底，求通項的重點是找一個已知而又有相同規律的數列作比較，可是就沒有一個必然的固定方法去做。我認為除了要靠經驗之外，有時候也要靠一點運氣呢！

祝你考試好運！