什麽是自然數?

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

*********簡單離講，自然數係整數，例如：1,2,3,4...100...*************


自然數，在數學中，是指正整數（1, 2, 3, 4...）或非負整數（0, 1, 2, 3, 4...）。前面的定義通常在數論中使用；而在集合論和電腦科學中，則更喜歡使用後一個定義。

自然數通常有兩個作用：可以被用來計數（如「有3個蘋果」），也可用於排序（如「這是國內第3大城市」）。

自然數有關整除性的特性，例如質數的分佈，屬於數論研究範圍的課題。有關計數的問題，比如Ramsey理論在組合學中研究。

數學家一般以代表以自然數組成的集合。此集合無上界而可數。

歷史與0的定性
自然數由數數目而起。古希臘人最早研究其抽象特性，當中畢達哥拉斯學派更視之為宇宙之基本。其它古文明也對其研究作出極大貢獻，尤其以印度對0的接受，為人稱道。

零早於公元前400年被巴比倫人用作數碼使用。瑪雅人於公元200年將零視為數字，但未與其它文明有所交流。現代的觀念由印度學者Brahmagupta於公元628年提出，經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人開始時仍對零作為數字感到抗拒，認為零不是一個「自然」數。

19世紀末，集合論者給自然數一個較嚴謹的定義。據此定義，把零（對應於空集）包括於自然數內更為方便。邏輯論者及電算機科學家，接受集合論者的定義。而其他一些數學家，主要是數論學家，則依從傳統把零拒之於自然數之外。

符號
數學家們使用 N 或 來表示所有自然數的集合。這是一個可數的無窮集合。為了明確的表示不包含0，正整數集合一般如下表示：

N+ 或
Z+ 或
而非負整數集合一般如下表示：

N0 或
Z+0 或
有些作者也使用 W 或 來表示「所有的數」的集合。

定義
要給出自然數的嚴謹定義並非易事。皮亞諾公設提出自然數要適合五點：

有一起始自然數 0。
任一自然數 a 必有後繼（successor），記作 a +1。
0 並非任何自然數的後繼。
不同的自然數有不同的後繼。
（數學歸納公設）有一與自然數有關的命題。設此命題對 0 成立，而當對任一自然數成立時，則對其後繼亦成立，則此命題對所有自然數皆成立。
若把 0 除出自然數之外，則公設內的 0 要換作 1。

集合論中的一般構作法是把一自然數看作是所有比它少的自然數組成的集，即　0 =｛ }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} ……若有人把自然數看作集合，通常就是如上。 在此定義下，在集合 n 內就有 n 個元素；而若 n 小於 m，則 n 會是 m 的子集。




相關慨念有可除性，輾轉相除，質數及其它數論慨念。

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http://www.math.ied.edu.hk/spkwan/teaching/teaching%204/udstdgnbs/files/unit_1_numbers.pdf


Very clear ga!

自然数，在数学中，是指正整数（1, 2, 3, 4...）。前面的定义通常在数论中使用；而在集合论和计算机科学中，则喜欢使用非负整数（0, 1, 2, 3, 4...）这种定义。

自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有3个苹果”），也可用于排序（如“这是国内第3大城市”）。

自然数有关整除性的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。有关计数的问题，比如Ramsey理论在组合学中研究。

数学家一般以代表以自然数组成的集合。此集合无上界而可数。

历史与0的定性
自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。

19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。


符号
数学家们使用 N 或 来表示所有自然数的集合。这是一个可数的无穷集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：

N+ 或
Z+ 或
而非负整数集合一般如下表示：

N0 或
Z+0 或
有些作者也使用 W 或 来表示“所有的数”的集合。


定义
要给出自然数的严谨定义并非易事。皮亚诺公设提出自然数要适合五点：

有一起始自然数 0。
任一自然数 a 必有后继（successor），记作 a +1。
0 并非任何自然数的后继。
不同的自然数有不同的后继。
（数学归纳公设）有一与自然数有关的命题。设此命题对 0 成立，而当对任一自然数成立时，则对其后继亦成立，则此命题对所有自然数皆成立。
若把 0 除出自然数之外，则公设内的 0 要换作 1。

集合论中的一般构作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集，即　0 =｛ }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} ……若有人把自然数看作集合，通常就是如上。 在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集。


性质
自然数加法可经a + 0 = a及a + (b + 1) = (a + b) + 1递归定义而成。因而得出可置换幺半群(N, + )，是由1生出的自由幺半群，其中幺元为0。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。

同理，自然数乘法 可经及 得出。而亦是可置换幺半群；和 + 服从分配律：

。
我们说当且仅当有自然数c使得a + c = b。是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序也和加法及乘法兼容，即若a，b和c都是自然数且，则及。

给出两个自然数a和b而，可找到唯一两个自然数q及r < b使得

a = bq + r
q称为“商数”而r称为“余数”。 若r = 0则a可被b 除尽，记为a | b。

相关慨念有可除性，辗转相除，质数及其它数论慨念。

自然數是1,即是它不是質數,又不是合成數

自然数，在数学中，是指正整数（1, 2, 3, 4...）。前面的定义通常在数论中使用；而在集合论和计算机科学中，则喜欢使用非负整数（0, 1, 2, 3, 4...）这种定义。
自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有3个苹果”），也可用于排序（如“这是国内第3大城市”）。
自然数有关整除性的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。有关计数的问题，比如Ramsey理论在组合学中研究。
数学家一般以
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/2/4/624e4cf68723f677d53e8cf2272f348a.png
代表以自然数组成的集合。此集合无上界而可数。



历史与0的定性
自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。
零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。
19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。

符号
数学家们使用 N 或
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/2/4/624e4cf68723f677d53e8cf2272f348a.png
来表示所有自然数的集合。这是一个可数的无穷集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：

N+ 或

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/4/2/342f2b27f9380eacd266432d87deea58.png

Z+ 或

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/f/9/df9cd4c179bda28a728473dc03286b51.png

而非负整数集合一般如下表示：

N0 或

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/e/8/be806f9584dc9fe666ac9c969063a2e7.png

Z+0 或

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/2/5/725b6d233925a9c804dfa7058f668a7b.png

有些作者也使用 W 或
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/0/3/30340ec59f455ecd95972d3b3fda6bbc.png
来表示“所有的数”的集合。

定义
要给出自然数的严谨定义并非易事。皮亚诺公设提出自然数要适合五点：

有一起始自然数 0。
任一自然数 a 必有后继（successor），记作 a +1。
0 并非任何自然数的后继。
不同的自然数有不同的后继。
（数学归纳公设）有一与自然数有关的命题。设此命题对 0 成立，而当对任一自然数成立时，则对其后继亦成立，则此命题对所有自然数皆成立。
若把 0 除出自然数之外，则公设内的 0 要换作 1。
集合论中的一般构作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集，即　0 =｛ }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} ……若有人把自然数看作集合，通常就是如上。 在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集。

性质
自然数加法可经a + 0 = a及a + (b + 1) = (a + b) + 1递归定义而成。因而得出可置换幺半群(N, + )，是由1生出的自由幺半群，其中幺元为0。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。
同理，自然数乘法
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/e/e/9eedd61e32f7a8e70e171028a7e5dc08.png
和 + 服从分配律：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/9/5/e95e75c5cb7753a02364dba4b7ff4d4e.png
。
我们说
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/1/4/6140ef5040ba627278812185179a80e5.png
。
给出两个自然数a和b而
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/f/3/bf35a1a26866b951b3c68608d2ecc836.png
，可找到唯一两个自然数q及r < b使得

a = bq + r
q称为“商数”而r称为“余数”。 若r = 0则a可被b 除尽，记为a | b。
相关慨念有可除性，辗转相除，质数及其它数论慨念。

推广
自然数有两种推广：序数用作排列，而基数用于判定集合的大小。
对于有限序列或有限集合，序数及基数皆与自然数同。