數學証或反証

設 方程a^2 + b^2 = c^2有正整數解
當a、b為奇數時
a^2≣b^2≣1(mod 8)
c^2≣1+1≣2(mod 8)
由於c^2定能被4整除
所以c^2(mod 8)不等於2
矛盾
所以當a、b為奇數時
方程a^2 + b^2 = c^2沒有正整數解


ps:用左反証法(contradiction)

a^2 + b^2 = c^2, 其中a、b為奇數
這命題沒有整數解。
證：
因為 a和b 都是奇數，a^2和b^2 都是奇數，固 c^2 是偶數
現在設
a=2x+1
b=2y+1
c=2z
其中x,y和z為整數。

RHS = (2z)^2 = 4z^2
因z^2是整數，4z^2，即c^2必然是4的倍數

LHS = (2x+1)^2 + (2y+1)^2
= 4x^2 + 4y^2 + 4x + 4y + 2
= 2 [ 2 ( x^2 + y^2 +x + y ) + 1 ]
因 [ 2 ( x^2 + y^2 +x + y ) + 1 ] 必然是單數，2 [ 2 ( x^2 + y^2 +x + y ) + 1 ] 必然不是4的倍數，即 ( a^2 + b^2 ) 不是4的倍數，因此，對於任何整數，LHS不等於RHS，證畢。