急!關於 A-math 講解 Locus (10分)

軌跡 (locus)：
其座標滿足某一等式或一個或多個條件的所有的點的集合或組合。
多數情況下﹐會有無窮多個座標滿足指定的條件﹐所以會形成一條直線或曲線﹐這條直線或曲線就是所求軌跡。
不過題目多數會寫成一個點P﹐而這個P點會動的﹐它動的時候始終滿足指定的條件﹐其走過所形成的線便是所求軌跡。
明顯以上兩個說法是等價的。
例：求與原點相距為1的點P的軌跡方程
答:設點P(x,y)﹐則有
(x-0)^2+(y-0)^2=1
x^2+y^2=1
所以P的軌跡方程是一個圓﹐如下圖所示

圖片參考：http://tbn0.google.com/images?q=tbn:47day-a55QG5xM:http://thesaurus.maths.org/mmkb/media/png/UnitCircle.png


例二請看
http://hk.knowledge. yahoo.com/question/? qid=7007040104280

例三
已知點A(-6,0),Q是曲線y=x^2+2上的一個動點,求線段AQ的中點P的軌跡方程.
以下是解這類問題的方法
設P的坐標是(a,b), Q的坐標是(x,y)
則用中點公式
a=(-6+x)/2
b=(0+y)/2
所以
x=2a+6
y=2b
因Q是曲線y=x^2+2上的一個動點
y=x^2+2
2b=(2a+6)^2+2
2b=4a^2+24a+38
2a^2+12a-b+19=0
亦即線段AQ的中點P的軌跡方程是
2x^2+12x-y+19=0
例四 (解題用到向量)
A(2,-1)和B(-4,3)是一線段的端點.求P(x,y)的軌跡方程,使得PA垂直PB.
由對P的要求可知P的軌跡是一圓
AB是直徑
圓方程是
(x-2,y+1).(x+4,y-3)= 0
(x-2)(x+4)+(y+1)(y-3 )=0
x^2+y^2+2x-2y-11=0
P(x,y)的軌跡方程是x^2+y^2+2x-2y-11=0
例五 (有一定參考價值)
某直綫通過(5,0)且分別與 3x-4y=0 和 3x+4y=0相交於H和K。當該直綫移動時，求HK的中點之軌跡方程。
設 P(x,y) 是軌跡上的點.
令H 是 (4s,3s), K 是 (4t,-3t)

穿過H﹐K, (5,0)的直線的斜率 = (3s+3t)/(4s-4t) = 3/4 * (s+t)/(s-t)
但其斜率亦等於 3s/(4s-5) [因過點(5,0)].
所以
3/4 * (s+t)/(s-t) = 3s/(4s-5)
(s+t)(4s-5) = 4s(s-t)
8st = 5(s+t)
因為P(x,y) 是H和K的中點

x = 1/2 (4s+4t) = 2s+2t = 2 (s+t)
y = 1/2 (3s-3t) = 3/2 (s-t)

用消元法,
(3x)^2 - (4y)^2 = [6(s+t)]^2 - [6(s-t)]^2
9x^2-16y^2 = 18(8st) = 18[5(s+t)] = 45x

所以HK的中點之軌跡方程是16y^2 = 9x^2-45x
16y^2 = 9x(x-5).