0.9999999999999...............算不算1?

0.9999...... = 1

　　這是一個很不容易令人相信的結果，為什麼呢？因為，任何兩個小數之間的比較大小，應該可以逐項比較的，例如：1.2 < 2.1、1.234 < 1.2345，這是小數的優點，那麼，0.9999...... < 1了。

　　另外，有0.9999......這樣的嗎？好像不應該有這樣的數，循環小數的產生應該來自分數，例如，0.3333......的部分之所以循環是因為除之不盡所以產生的，但是，0.9999......會是如何產生的呢？會有兩個數相除而產生0.9999......嗎？換言之，我們不僅不相信0.9999...... < 1，甚且不相信有0.9999...... 這樣的無窮循環小數。

　　以下我們試圖來尋找0.9999......的根源。首先，你相信1/3 = 0.3333......嗎？當然相信，因為將1除以3就會有3源源不絕的產生，又0.9999...... = 0.3333...... ×3是嗎？那就滿奇怪的，0.9999...... = 0.3333...... × 3 = 1/3 × 3 = 1！，那不就說明0.9999...... = 1嗎？

　　沒關係，那我們就不要透過1/3 = 0.3333......，直接來看看。

我們只要確定rⁿ → 0 as n → ∞ where – 1 < r < 1
現在問題在於如何能確定rⁿ → 0 as n → ∞ where – 1 < r < 1
根據數列收斂定義而言：給定一個ε，存在一個N使得n ≧ N =>∣rⁿ│< ε
換言之，考慮∣r∣< ε^(1/n) for all n ≧ N
我們現在只要能夠做到ε^(1/n) → 1 as n → ∞即可
而這個問題等價於：給定任意正數a，a^(1/n) → 1 as n → ∞
不失一般性，令a > 1，則aⁿ可寫成1 + h(n)，即：a^(1/n) = 1 + h(n)
（若a = 1自動成立。若0 1，故也為顯然）
我們想證：h(n) → 0 as n → ∞
再度利用四則運算得a = (1 + h(n))ⁿ > 1 + n h(n)
故(a – 1)/n > h(n) > 0 for all n in N
再度回到0.9999…… = 1來看，我們已經把問題簡化成：
只要能確定1/n → 0 as n → ∞
（因夾擠定理只是數列收斂定義的直接應用的證明，不牽涉實數的完備性）
根據數列收斂定義：給定一個ε，存在一個N使得n ≧ N => 1/n < ε
我終究得用阿基米德的性質而宣稱1/n → 0 as n → ∞
為了不牽涉實數的完備性，我決定引用
Peano axioms：正整數沒有上界（因有後繼元素）
也就是說，我現在希望我能用Peano axioms去證得1/n → 0 as n → ∞
現在證明：利用正整數沒有上界之事實證得阿基米德原理。
Proof:
給定任兩個正實數s與t，（不論s多大且不論t多小）則必定存在一個n，使得
s < nt（因若不然，則N將會有上界，故矛盾）

於是，我利用了Peano axioms證得阿基米德原理
再根據阿基米德原理去證得1/n → 0 as n → ∞
再由此證得rⁿ → 0 as n → ∞, where – 1 < r < 1
再依此證得0.9999…… = 1

　　還有一個方法，就是將2除以2，據理，您應該將1寫在商，但請試試將0寫在商，不要寫1，不斷補0，如下圖：

　　０.９９９９９９９９９９９９９９…………
　┌────────────────────
２│２.００００００００００００００…………
　╯１８
　　────────────────────
　　　２０
　　　１８
　　　───────────────────
　　　　２０
　　　　１８
　　　　──────────────────
　　　　　２０
　　　　　１８
　　　　　─────────────────
　　　　　　２…………

您就會得到0.9999…… = 1

　　怎麼會這樣呢？你當然還有一個疑問：真的有0.9999......這樣的數嗎？有的，有一支木棍，長度是1，我們第一次取其0.9，第二次再取其剩下的0.9，以此類推，每次都取其剩下的0.9，想想看，這樣取法可以將線段拿完嗎？當然不行，那不就可以一直拿取下去，那不就是0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...... = 0.9999......當然，你會想：那不就是0.9999...... < 1。其實若只要不是有無限多個9，那麼這個數都是小於1。但若果利用等比級數求和公式，我們可以求出0.9999...... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...... = 1了。

資料來源：
http://hk.geocities.com/mathsworld2001/themes/9and1.htm
http://www.catcatforum.com/discuz/viewthread.php?action=printable&tid=622824

不算.........

Definitely YES.

Many proofs:

(a) Fraction Proof
0.33333..... = 1/3
3 x 0.33333...... = 3 * 1/3 = 3x1 / 3
0.99999..... = 1

(b) Algebraic Proof
c = 0.9999......
10c = 9.9999......
10c - c = 9.9999 - 0.9999
9c = 9
c = 1
0.9999..... = 1

There are many other kinds of proofs, and the bottom line is:

0.99999999999999...... is IDENTICAL to 1

Please refer to the wikipedia, below.

如果沒有「四捨五入」等記數制度。這個數目永遠不算作1。
因為這個數目和1始終有些微的差別。
這個數可以寫作一個「循環小數」
０.９
留意在9的上面有一個「循環小數點」(希望你見得到啦)

算!從以下算式得知。
設 0.9999999.....為x
x=0.9999999......--------------- 1
10x=9.999999........-----------------2
2-1
10x-x=9.99999.......-0.999999......
9x=9
x=1
所以0.9999999.....=1

可算可唔算
如果你用法則--四捨五入計算
咁就算架啦
如果你要準確到咁既話
咁就唔算啦

算呀!
不過無得解!
中七生係咁講!

2007-06-05 20:16:31 補充：
例:10/10=1 100/10=0.99999999......... 所以0.999999999......是=1

精确來講唔算

當然不能算是 1,
無論後面有幾多個9字,
只可能話差不多到 1,
但卻不能說是 1.

0.9999999999999 唔算1
但係如果係近似值來講的話就可以話係1