多面體歐拉定理的推導部分

好明顯，上面的朋友答非所問，請小心投票。

多面體歐拉定理說的應該是V + F - E = 2 這公式。這個定理共有19個不同的證明方法，相信還會愈來愈多。

但既然你問到推導部份，想必你是想用induction做。

首先證明一個planar graph的 V + F - E = 1。

Base case: trees.
所有tree的number of vertex = number of edge + 1，沒有face, 所以成立。

假設任何有k條edge的planar graph都符合V + F - E = 1
那所有有k + 1 條edge的planar graph都可以畫成一個在平面上的圖形。
隨意拿一個edge，只有兩個情況，它是自己連自己，所以拿掉這edge, face會同時減一，或者它是兩個vertex連埋，我們將這edge變成一個vertex, 兩個vertex一條edge變一個vertex, 結果vertex，edge同時減1。兩個case都會keep到V + F - E = 1。

這個方法是網頁裏的第四個方法 (Induction on Edges)
當然還有很多其它方法。

證到planar graph的V + F - E = 1，證多面體的V + F - E = 2就很容易。只要把一面拿走然後展開就可以，那就是一個planar graph。

（1）背景：歐拉公式的背後是一門新的幾何學，這種新的幾何學只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮圖形尺寸大小，這就是由萊布尼茲和歐拉共同奠基的“橡皮膜上的幾何學”（位置幾何學），如今這門學科已經發展成數學的一個重要的分支——拓撲學。

（2）歷史：有關凸多面體最有趣的定理之一是歐拉公式“V-E+F=2”，其實大約在1635年笛卡爾就早已發現了它。歐拉在1750年獨立地發現了這個公式，並於1752年發表了它。由於笛卡爾的研究到1860年才被人們發現，所以這個定理就稱爲歐拉公式而不是笛卡爾公式。

歐拉,出生在瑞士的巴塞爾（Basel）城，13歲就進巴塞爾大學讀書，得到當時最有名的數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指導．

歐拉在數學上的建樹很多，對著名的哥尼斯堡七橋問題的解答開創了圖論的研究。歐拉還發現，不論什麽形狀的凸多面體，其頂點數V、棱數E、面數F之間總有V-E+F=2這個關係。V-E+F 被稱爲歐拉示性數，成爲拓撲學的基礎概念。以歐拉的名字命名的數學公式、定理等在數學書籍中隨處可見, 與此同時，他還在物理、天文、建築以至音樂、哲學方面取得了輝煌的成就。歐拉還創設了許多數學符號，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等。

1733年，年僅26歲的歐拉擔任了彼得堡科學院數學教授．1735年，歐拉解決了一個天文學的難題（計算慧星軌道），這個問題經幾個著名數學家幾個月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發明的方法，三天便完成了．然而過度的工作使他得了眼病，並且不幸右眼失明了，這時他才28歲．

歐拉的一生，是爲數學發展而奮鬥的一生，他那傑出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮鬥精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的．

歐拉公式有4條

（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

當r=0,1時式子的值爲0

當r=2時值爲1

當r=3時值爲a+b+c

（2）複數

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形

設R爲三角形外接圓半徑，r爲內切圓半徑，d爲外心到內心的距離，則：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面體

設v爲頂點數，e爲棱數，是面數，則

v-e+f=2-2p

p爲歐拉示性數，例如

p=0 的多面體叫第零類多面體

p=1 的多面體叫第一類多面體

等等

其實歐拉公式是有4個的，上面說的都是多面體的公式