咩係 實數 ?

實數
有理數與無理數總稱為實數。


實數理論包括有理與無理數的嚴格定義，及其性質。


從已知的自然數、零、及正分數出發，可以直接定義負整數與負分數，並建立其運算法則，所以整個有理數的理論是比較容易被人們所接受的。


而無理數則不然，從它的發現到它的嚴格定義，是曲折而漫長的。所以研究實數理論主要是研究無理數理論。


到了19世紀70年代，著名的德國數學家外爾斯特拉斯﹝1815-1897﹞、康托爾﹝1845-1918﹞和法國的柯西﹝1789-1857﹞及戴德金﹝1831-1916﹞等都對實數理論進行了研究，獲得了幾種形異而實同的實數理論，其中以戴德金分割法﹝1872﹞；康托爾的有理數「基本序列」法﹝1872﹞為最有代表性。上述兩法與外爾斯特拉斯的實數理論合稱實數理論的三大派。　


由極限理論可知，有極限的有理數列都應該是基本數列，例如若a為有理數，常數數列

a， a…， a，……

當然是基本數列，它的極限就是a本身。對2進行開平方，可依次得出一列有限小數

1，1.4，1.41，1.414，1.4142，……

也是一個基本數列，如果已經定義了實數的話，那麼它的極限應該是，但是在尚未引進無理數，而只有有理數的情況下，上述基本數列是沒有極限的。這就啟示我們，把每一個「基本數列」當做一種新的「數」來看待，即凡是收斂於有理數a的基本數列，把它看作有理數a，凡不能收斂於有理數的基本數列，就把它看做新的「數」──無理數。從而把基本數列的全體可當做一個「數集」，稱它為實數集。