正方形的面積定義

正方形的面積 = (邊長)²

「正方形的面積 = (邊長)²」這條公式不是定義出來的，而是證明出來的。而這條公式的證明非常簡單，只須用到微積分。


設正方形的邊長為a，其中a為任何正實數。

首先把正方形放在平面直角坐標上，其實放在任何位置都可以，但為了方便計算，就把正方形的左下角對準在平面直角坐標的原點上，正方形最下面的那條邊對準在x軸，正方形最左面的那條邊對準在y軸，如下圖：

　ｙ
　↑
　│
ａ╆━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
　┃　　　　　　　　　　ｙ＝ａ　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃ｘ＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝ａ┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　ｙ＝０　　　　　　　　　　　┃
─╄━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╃─→ｘ
０│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ

此時，正方形被四條分別為x = 0，x = a，y = 0和y = a的直線包著。

∴正方形的面積
= ∫(0 to a)│y│dx
= ∫(0 to a)│a│dx
= ∫(0 to a) a dx (∵a > 0)
= [ax] (0 to a)
= a²
= (邊長)²

首先：

正方形　＝　矩形（其中一個special case）

所以正方形一定obey所有矩形的公式和定義

矩形的面積定義為[(上底+下底)*高]*(1/2)

所以正方形面積都應該係[(上底+下底)*高]*(1/2)

2007-05-26 00:04:13 補充：
諗諗下~~~~可能要用integration因為integration係可以用以大部份case比較general可能係由S係integration個蛇仔S(由0至k) k dx=[kx](由0至k)=k^2 - 0^2=k^2

其實矩形的面積為 長 乘以 闊
但由於正方形的定義為其的長 和 闊 相等
且內裡每一內角為90度
所以正方形之面積定義為= 邊長^2 !!!(邊長自乘一次)

邊長ge 2 次方
即係邊長 x 邊長