急急急~~~分數的由來是怎樣的?

基本學力分數的建立

原始分數本身並沒有提供統計上的意義。比如說，在一個有 60 個試題的測驗來說，如果甲生的原始分數為 48 ，乙生的分數為 46 。就過去一般的習慣來說，兩人的分數相差兩分，但是，甲生是不是真的考的比乙生還要好？也就是說，甲乙兩人分數是否達到統計上所謂的「顯著差異」呢？通常原始分數並沒有辦法直接回答這個問題。原始分數能直接提供的訊息是甲生比乙生多答對了兩題，如經過換算，也可讓我們知道甲生答對了 80% 的題目，而乙生答對 76.7% 的題目。因為測驗的目的在希望能測得考生的真實能力，而我們也理解影響考生的答題反應因素非常多，要在一次的施測中測出考生的真實能力實在是不大可能。因此當我們想要對『兩個考生的得分之間是否有差異』這個假設來下結論時，通常我們都得將統計學上機率的概念納入考慮。因此，僅靠原始分數或答對的百分比實在是很難回答甲、乙兩位考生之得分是否有差異。

　 最 初 分 數 被 看 作 是 整 體 或 一 個 單 位 的 一 部 分 ， 後 來 在 運 算 過 程 中 用 它 表 示 兩 個 整 數 的 商 。
古 巴 比 倫 人 按 照 整 數 的 六 十 進 位 制 來 表 示 分 數 ， 例 如 作 為 分 數 來 記 時 ， 表 示 。 少 數 幾 個 分 數 有 其 特 定 記 號 。 例 如



古 埃 及 人 用 表 示 一 個 分 數 ， 在 僧 侶 文 中 把 卵 形 改 成 一 個 點 ，這 卵 形 或 點 通 常 記 在 整 數 上 ， 表 示 它 是 個 分 數 ， 例 如 :



有 少 數 幾 個 分 數 用 特 殊 記 號 表 示 ， 如 表 示 ， 表 示 ， 表 示 等 。

古 希 臘 人 ， 用 L〞 表 示 。 寫 小 的 分 數 時 在 分 子 上 加 一 重 音 符 號 ， 然 後 把 分 母 寫 一 次 或 兩 次 ， 每 次 加 兩 個 重 音 符 號 。 例如 ， Lg ¢ k q ² k q ² = 。 丟 番 圖 則 常 把 分 母 寫 在 分 子 上 面 。

我 國 古 代 把 分 數 叫 “ 命 分 ” 。 表 示 分 數 的 方 法 是 在 籌 算 除 法 的 基 礎 上 產 生 的 。 《 孫 子 算 經 》 《 約 公 元 3 世 紀 》 裏 說 ： “ 凡 除 之 法 ，...... 除 得 在 上 。...... 方 實 有 餘 者 ， 以 法 命 之 ， 以 法 為 母 ， 實 餘 為 子 。 ” 這 種 排 法 和 現 在 一 樣 ， 分 子 在 上 ， 分 母 在 下 ， 只 是 帶 分 數 的 整 數 部 分 排 在 最 上 面 。 例 如 ， 列 成 ：



到化宋代，將分數3056寫成



目 前 所 發 現 的 最 早 的 分 數 線 是 在 阿 里 ‧ 哈 薩 ( 約 公 元 1175 年 ) 的 著 作 中 。 幾 乎 就 在 同 時 ， 意 大 利 數 學 家 斐 波 那 契 將 12c 寫 成 “ radices12 ”。 這 是 在 歐 洲 最 早 出 現 的 分 數 線 。

分 數 線 出 現 以 後 ， 並 沒 有 被 大 家 採 用 。 14 世 紀 中 葉 還 有 用 表 示 的 。 18 世 紀 末 葉，棣 麼 甘 推 荐 用 a/b 表 示 。

關 於 分 數 運 算 ， 三 千 多 年 前 埃 及 人 把 所 有 的 分 數 都 化 為 分 子 是 1 的 單 分 子 分 數 再 進 行 計 算 ， 這 使 計 算 非 常 複 雜 ， 巴 比 倫 人 用 60 進 分 數 運 算 也 很 麻 煩 。 歐 洲 在 15 世 紀 以 後 ， 才 逐 漸 形 成 現 代 分 數 的 算 法 。 例 如 ， 計 算 ， 寫 成 ：



公 元 9 世 紀 ， 印 度 數 學 家 摩 河 毗 羅 提 出 了 分 數 除 法 法 則 ： 把 除 數 顛 倒 相 乘 。 這 種 算 法 直 到 17 世 紀 才 被 普 遍 採 用 。

世 界 上 系 統 地 敘 述 分 數 的 最 早 著 作 約 是 公 元 前 一 世 紀 我 國 的 《 九 章 算 術 》 ， 它 給 出 了 相 當 完 整 的 分 數 運 算 法 則 ， 基 本 上 和 現 代 的 算 法 一 致 。 所 提 到 的 分 數 的 算 法 有 “ 合 分 ”( 加 法 ) 、 “ 減 分 ” ( 減 法 ) 、 “ 乘 分 ” ( 乘 法 ) 、 “ 經 分 ” ( 除 法 ) 、 “ 課 分 ” ( 比 較 分 數 大 小 ) 、 “ 平 分 ” ( 求 分 數 平 均 數 ) 。

關 於 分 數 的 基 本 性 質 也 和 現 代 完 全 一 致 。 劉 徽 ( 公 元 3 世 紀 ) 在 《 九 章 算 術 》 注 裏 說 ： “ 設 有 四 分 之 二 ， 繁 而 言 之 ， 亦 可 為 八 分 之 四 ； 約 而 言 之 ， 則 二 分 之 一 也 。 ” 這 是 分 數 的 基 本 性 質 。 對 於 分 數 的 約 分 ， “ 術 曰 ： 可 半 者 半 之 ， 不 可 半 者 ， 副 置 分 母 子 之 數 ， 以 少 減 多 ， 更 相 減 損 ， 求 其 等 也 ， 以 等 數 約 之 。 ” 這 就 是 以 分 母 、 分 子 輾 轉 相 除 求 最 大 公 約 數 。

“ 合 分 、 減 分 ” 與 現 在 的 算 法 完 全 相 同 ， 如 《 方 田 》 章 中 第 7 、 9 、 10 題 計 算 如 下 ：



“ 乘 法 ” 運 算 與 現 在 完 全 一 樣 ， 遇 到 帶 分數 的 乘 法 也 是 先 為 假 分 數 後 再 乘 。

“ 經 分 ” 運 算 是 將 相 除 的 分 數 先 化 為 同 分 母 的 分 數 ， 然 後 分 子 相 除 。 如 《 方 田 》 章 第 18 題 如 下 ：



後 來 數 學 家 劉 徽 對 經 分 補 充 了 將 除 數 的 分 子 、 分 母 顛 倒 與 被 除 數 相 乘 的 法 則 。

世 界 上 最 早 的 分 數 ， 出 於 埃 及 的 阿 斯 紙 草 卷 。
公 元 1858 年 ，一 位 名 叫 亨 利 ‧ 林 特 (Henry Rhind) 的 英 國 人 ，在 埃 及 ， 發 現 了 一 卷 古 代 紙 草 。 林 特 像 得 了 寶 藏 似 的， 立 即 請 人 修 改 這 卷 無 價 之 寶 ， 並 請 德 國 考 古 學 家 艾 薩 羅 爾 翻 譯 紙 草 上 記 載 的 古 埃 及 文 。 直 到 1877 年 ，艾 薩 羅 爾 共 花 了 十 九 年 的 時 間 ， 才 把 紙 草 卷 中 的 內 容 翻 譯 了 出 來 ，成 為 考 古 歷 史 上 的 一 大 成 就 。

在 阿 默 斯 草 卷 中 ， 我 們 看 見 四 千 年 前 分 數 的 記 數 法 和 運 算 法 。 當 時 ， 埃 及 人 已 經 掌 握 了 單 分 數 ----- 分 子 為 1 的 分 數 的 一 般 記 數 法 。 它 告 訴 人 們 ： 數 ， 不 單 有 整 數 ， 而 且 有 它 的 倒 數 ---- 單 分 數 。 埃 及 人 實 際 上 已 經 給 了 分 數 應 有 的 地 位 。

人 類 還 在 文 化 發 展 的 低 級 階 段 時 ， 對 於 測 量 及 分 割 成 部 份 時 ， 就 感 覺 到 需 要 利 用 分 數 來 補 足 了 。

公 元 前 1600 年 前 後 ， 埃 及 人 就 知 道 分 數 ， 他 們 把 分 數 都 化 成 分 子 為 1 的 分 數 和 ， 如 :

2/29=(1/24)+(1/58)+(1/174)+(1/232)，

使 計 算 非 常 繁 複 及 困 難 。 巴 比 倫 人 用 分 數 60 進 位 ， 也 很 不 便 。 十 五 世 紀 六 十 進 制 分 數 才 開 始 被 十 進 位 制 分 數 逐 漸 取 代 。 十 八 世 紀 ， 引 入 長 度 單 位 米 制 之 後 ， 六 十 進 位 制 分 數 最 後 正 式 被 十 進 位 制 分 數 排 擠 出 去 。 分 數 的 現 代 寫 法 是 從 古 印 度 開 始 ， 而 印 度 分 數 制 很 接 近 現 代 的 分 數。

我 國 的 九 章 算 術 是 世 界 上 系 統 敘 述 分 數 的 最 早 著 作 ， 在 「 方 田 章 」 中 有 分 數 的 約 分 ( 約 分 術 ) 、 通 分 、 加 、 減 、 乘 、 除 法 則 。 化 帶 分 數 為 假 分 數 叫 做 「 通 分 內 子 」 ， 求 幾 個 分 母 的 最 大 公 約 數 叫 做 「 更 相 減 損 」 ， 與 歐 基 里 得 輾 轉 相 除 法 一 致 。 在 實 際 計 算 中 ， 通 分 常 用 最 小 公 分 母 ， 如 「 少 廣 章 算 」 的
1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6+(1/7)=1089/420

劉 徽 在 「 九 章 算 術 」 注 中 寫 出 除 數 的 法 則 。 1489 年 維 特 曼 才 指 出 分 數 相 除 等 於 顛 倒 相 乘 。 至 於 分 數 的 寫 法 ， 古 代 中 國 、印 度 和 中 亞 都 是 分 子 在 上 ， 分 母 在 下 ， 中 間 沒 有 分 數 線 。 中 古 的 數 學 家 斐 波 那 契 是 最 早 使 用 分 數 線 的 ， 但 是 當 時 還 沒 有 被 普 及 化 。