為何長方形面積要定義為長X闊？

「長方形的面積 = 長 × 闊」這條公式不是定義出來的，而是證明出來的。而這條公式的證明非常簡單，只須用到微積分。


設長方形的長為a，闊為b，其中a和b為任何正實數。

首先把長方形放在平面直角坐標上，其實放在任何位置都可以，但為了方便計算，就把長方形的左下角對準在平面直角坐標的原點上，長方形最下面的那條長邊對準在x軸，長方形最左面的那條闊邊對準在y軸，如下圖：

　ｙ
　↑
　│
ｂ╆━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
　┃　　　　　　　　　ｙ＝ｂ　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃ｘ＝０　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝ａ┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
　┃　　　　　　　　　ｙ＝０　　　　　　　　　┃
─╄━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━╃─→ｘ
０│　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ

此時，長方形被四條分別為x = 0，x = a，y = 0和y = b的直線包著。

∴長方形的面積
= ∫(0 to a)│y│dx
= ∫(0 to a)│b│dx
= ∫(0 to a) b dx (∵b > 0)
= [bx] (0 to a)
= ab
= 長 × 闊

因為面積被定義為該形狀在一平面內所覆蓋的範圍。

而一個長方形的「闊」在一平面上掃過為「長」的一段距離後，覆蓋的範圍是「闊」這一線段的長度乘以它所走過的距離（即是「長」的距離），自然便是該長方形的面積了。
反之亦然。

所以長方形的面積是 長 乘 闊。