Why 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2

數學歸納法 (Mathematical Induction) 可以用來證明它。

設命題P(n) 是1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2

P(1)是明顯正確的

左面 1^3 + .... + 1^3 = 1
右面 (1 + ... + 1)^2 = 1

假設P(k)是正確的

1^3+2^3+3^3+...+k^3=(1+2+3+...+k)^2

[(1+2+3+...+ k) + (k + 1)]^2
= (1+2+3+...+ k)^2 + 2(1+2+3+...+ k)(k + 1) + (k + 1)^2
= 1^3+2^3+3^3+...+k^3 + k(k+1)(k + 1) + (k + 1)^2 ............. *
= 1^3+2^3+3^3+...+k^3 + (k+1)^3

所以假設P(k)是正確的話，P(k+1)也是正確的。

所以p(1)是正確的, p(2)也是正確的, p(3)也是正確的, p(n)都是正確的。

其中 * 的一行用了 (1+2+3+...+ k) = k(k+1)/2，這個也可以用數學歸納法證明的。

可以用mathematical induction證明..
唔證,識得用咪得囉
1^3 + 2^3 + ...... + n^3 = ( 1+2+......+n )^2 = [ n(n+1)/2 ]^2