x+y=xy

樓上的回答很明顯地指出了這條題目的限制不充份，事實上，如果甚麼條件也不再加，這題目可以有無限個答案。

x + y = xy
1/x + 1/y = 1 (假設x, y =/= 0)

x = 1/2, y = -1
x = 1/3 y = -1/2
x = 1/4, y = -1/3
...

這條題目有趣的地方，是假設只容許整數解。
如果有時間，可以把不同的x, y 值畫出來，可以得出一條旋轉了45度的雙曲線。

所以我們可以把圖轉一下(同時放大sqrt(2)倍，方便整數)，使用
x = p + q
y = p - q
這個轉換，我們得出

(p + q) + (p - q) = (p + q)(p - q)
2p = p^2 - q^2
p^2 - 2p + 1 - q^2 = 1
(p - 1)^2 - q^2 = 1 這是明顯的雙曲線方程

我們想使x, y是整數，換句話說p, q也必須是整數，在這裏我們要求兩個平方數的差是1，那只有兩個情況，就是1^2 - 0^2 = 1或 (-1)^2 - 0^2 = 1。 ...(*)

當p - 1 = 1 (p = 2), q = 0　時, x = p + q = 2, y = p - q = 2
當p - 1 = -1 (p = 0), q = 0 時, x = p + q = 0, y = p - q = 0

這個方法可證明(0, 0) 和 (2, 2)是所有整數解，沒有可能有其它的整數解了。

(*) 其實可以說是明顯的，如果要進一步的論證，可寫

(m + k)^2 - m^2 = m^2 + 2mk + k^2 -m^2
= 2mk + k^2
= (2m + k)k = 1

可以兩個整數相乘為1只有1 x 1 或 -1 x -1。（這個夠明顯了吧)

所以只有2m + k = 1 和k = 1, 得出m = 0, k = 1
或2m + k = -1 和 k = -1，得出m = 0, k = -1
兩條平方數差數式分別是1^2 - 0^2 = 1, 和 (-1)^2 - 0^2 = 1

2007-05-19 00:13:13 補充：
多謝大家的評價，我會繼續努力。

There are two only two solutions, which are found by estimation.

They are:
　(1) x=0 and y=0;
　(2) x=2 and y=2.

x+y = xy
xy除2 = x+y*

↓只有2和0先可以證明這條數的`!!!
。2x2除2 = 2+2
。0x0除2 = 0+0

the data given is not enough to solve this problem.....

it's algebra questions.

this can only be solved by inspection.