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(a)圓形的面積
圓形的面積是πr²，其中r是半徑。
證明：
首先把圓形放在平面直角坐標上，其實放在任何位置都可以，但為了方便計算，就把圓形的圓心對準在平面直角坐標的原點上。
此時，圓形的方程是x² + y² = r²，其中r是半徑。
∵該圓形與x軸和y軸對稱
∴圓形的面積
= 4 ∫(0 to r)│y│dx
= 4 ∫(0 to r) √(r² – x²) dx
設x = r sin θ，其中 – π/2 ≦ θ ≦ π/2
dx = r cos θ dθ
當x = 0，θ = 0
當x = r，θ = π/2
因此4 ∫(0 to r) √(r² – x²) dx
= 4 ∫(0 to π/2) √(r² – r² sin² θ) (r cos θ) dθ
= 4r² ∫(0 to π/2) cos² θ dθ
= 2r² ∫(0 to π/2) (1 + cos 2θ) dθ
= 2r² [θ + (sin 2θ)/2] (0 to π/2)
= πr²
(b)橢圓形的面積
橢圓形的面積是πab，其中a是最長的半徑，b是最短的半徑。
證明：
首先把橢圓形放在平面直角坐標上，其實放在任何位置都可以，但為了方便計算，就把橢圓形的圓心對準在平面直角坐標的原點上，最長的半徑a對準在x軸，最短的半徑b對準在y軸。
此時，橢圓形的方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a是最長的半徑，b是最短的半徑。
∵該橢圓形與x軸和y軸對稱
∴橢圓形的面積
= 4 ∫(0 to a)│y│dx
= 4 ∫(0 to a) b√(1 – x²/a²) dx
= 4b/a ∫(0 to a) √(a² – x²) dx
設x = a sin θ，其中 – π/2 ≦ θ ≦ π/2
dx = a cos θ dθ
當x = 0，θ = 0
當x = a，θ = π/2
因此4b/a ∫(0 to a) √(a² – x²) dx
= 4b/a ∫(0 to π/2) √(a² – a² sin² θ) (a cos θ) dθ
= 4ab ∫(0 to π/2) cos² θ dθ
= 2ab ∫(0 to π/2) (1 + cos 2θ) dθ
= 2ab [θ + (sin 2θ)/2] (0 to π/2)
= πab
(c)橢圓形的周界
橢圓形的周界是4aE(e)，其中a是長軸的長度，e是離心率e = √(1 – b²/a²)，
函數E(k)是第二類完全橢圓積分函數。
E(k)的運算定義如下：
E(k) = E(π/2 , k) = ∫(0 to π/2) √(1 – k² sin² θ) dθ
http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheSecondKind.html
E(k)這個積分不能用平常的方法求得，因為√(1 – k² sin² θ)的原函數（primitive function）是不能以基礎函數（elementary function）表示。
一般來說，E(k)的計算要用到進階的數學軟件，如Mathematica的built-in function：
E(k) : = EllipticE[√k]
由於不能得到準確的數值，所以有估算公式，詳情可參閱
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7007020600879
http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse
證明：
首先把橢圓形放在平面直角坐標上，其實放在任何位置都可以，但為了方便計算，就把橢圓形的圓心對準在平面直角坐標的原點上，最長的半徑a對準在x軸，最短的半徑b對準在y軸。
此時，橢圓形的方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a是最長的半徑，b是最短的半徑。
此外，橢圓形的參數方程是x = a sin θ , y = b cos θ。
∵該橢圓形與x軸和y軸對稱
∴橢圓形的周界
= 4 ∫(0 to π/2) √[(dx/dθ)² + (dy/dθ)²] dθ
= 4 ∫(0 to π/2) √[(a cos θ)² + (– b sin θ)²] dθ
= 4 ∫(0 to π/2) √(a² cos² θ + b² sin² θ) dθ
= 4 ∫(0 to π/2) √(a² cos² θ + a² sin² θ – a² sin² θ + b² sin² θ) dθ
= 4 ∫(0 to π/2) √[a² – (a² – b²) sin² θ] dθ
= 4a ∫(0 to π/2) √[1 – (1 – b²/a²) sin² θ] dθ
= 4a ∫(0 to π/2) √[1 – (√(1 – b²/a²))² sin² θ] dθ
= 4a ∫(0 to π/2) √[1 – e² sin² θ] dθ
= 4aE(e)
