圓錐被平面斜截, 其截面是橢圓. 但若圓柱被平面斜截, 其截面是仍然為橢圓?

圓錐被平面斜截，其截面是橢圓。
但若圓柱被平面斜截，其截面是仍然為橢圓?

　　沒錯，從下圖可以看到，若圓柱被平面斜截，其截面是仍然為橢圓。仍有懷疑的話，你可以利用香腸、香蕉、青瓜、菜莖等，用刀子切切看，就會看見橢圓形的截面了。


圖片參考：http://i152.photobucket.com/albums/s170/smallchickenchicken2005/section.jpg



順帶一說，圓錐體被平面切割，可以切出圓、橢圓、拋物線及雙曲線等的曲線，故這些曲線又稱讚圓錐系曲線。
圓柱體就只可以切出圓、橢圓及長方形。

這個時候，最正確的答案很可能又是最沒用的答案了。

題目的確是問：「圓錐被平面斜截, 其截面是橢圓. 但若圓柱被平面斜截, 其截面是仍然為橢圓?」。一個是或者正確的確是一個最正確的答案，但這個答案沒有甚麼用，因為問的人同時也需要知道為甚麼。

一個簡單一點的說法，可以把圓柱體想像成一個頂點在無限高的圓錐體，那麼，其斜截面當然就是橢圓了。

另外一個方法就是用坐標幾何的方法。用最簡單的圓拄體,一個圓心在(0,0,0),半徑為1的無限高圓拄體。

它的方程就是 x^2 + y^2 = 1, z 是甚麼數值都可以。

然後我們以 X 軸為旋轉軸,把坐標系統改了為(x', y', z')

那麼 x = x', y = c y' + s z', z = c y' - s z'

(c 和 s 分別是旋轉角的cos 和 sin)

方程變成

x'^2 + (c y' + s z')^2 = 1

設 z' = 0, 因為我們考慮斜切面。

x'^2 + (c y')^2 = 1

這就是橢圓的方程。

2007-05-20 00:49:04 補充：
我的答案包括了證明但仍拿不到最佳答案，應該是因為沒法畫圖吧。
寫法的確有點沉悶。

其截面仍然為橢圓。

那就要看看你所切割的角度了。如果你傾向斜地切,其截面就會變成橢圓形;如果你沿著水平線切,其截面就會變成正圓形。

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