求拋物線方程

設P(x,y)=(a,b)由圖形得知拋物線方程必為
y= -Ax^2 +H – (D/2) , A>0
及圓形方程
x^2 + y^2 =(D/2)^2
將兩式合併為
y= -A{(D/2)^2 – y^2} +H – (D/2)
化簡及歸項得
0= 4Ay^2 -4y + (4H -2D –AD^2)
根據圖形的對稱性及相交點是相切，上式必只得一個根 y，所以判別式等於零，即
16 – 16A(4H -2D –AD^2) =0
1 – A(4H -2D) +AD^2 =0
所以，求A得
A= (2H –D ±√B )/D^2 , B=H(H –D)

我計到這裡之後，發覺A應選較大值，但是想不出理由，希望有高人指點。現在先草草寫下答案：

拋物線方程為
y= -{(2H –D ±√B )/D^2}x^2 +H – (D/2) , B=H(H –D)

2007-05-13 17:14:58 補充：
更正：拋物線方程為y= -{(2H –D +√B )/D^2}x^2 +H – (D/2) , B=H(H –D)

2007-05-13 17:22:58 補充：
再更正：所以，求A得A= (2H –D ±2√B )/D^2 , B=H(H –D)拋物線方程為y= - {(2H –D +2√B )/D^2}x^2 +H – (D/2) , B=H(H –D)

2007-05-14 23:25:58 補充：
噢!太榮幸啦，竟然有高人指教。不過：1)2H –D -2√B 0 對任意正數 H 及 D 使得 B 02)A較細值對應的不是 扁長的拋物線，是比較闊的才對。這就是最奇怪的地方，因為不相交的話，判別式一定少於零!!!

設圓方程為x^2 + y^2 = r^2 [r = D/2]。
設拋物線方程為ax^2 + c = y (linear term是 0, 因為頂點(-b/2a, *)在y axis上。
設P點為P(x’, y’), 為了避免x 用來寫equation又用來代表p點的麻煩。

相交於x’, y’。

x’ ^ 2 + y’ ^ 2 = r^2 ...... (1)
ax’ ^ 2 + c = y’ ...... (2)

圓形方面, 2x + 2ydy/dx = 0 => dy/dx = -x/y
拋物線方面, dy/dx = 2ax

相切於x’, y’
2ax’ = -x’ / y’

a = -1/(2y’) ...... (3)
使用(2)

ax’ ^ 2 + c = y’
-1/(2y’)x’^2 + c = y’
c = x’^2/(2y’) + y’

所以答案是 y = [-1/(2y’)]x^2 + [x’^2/(2y’)+y’] 。

餘下的，就要使用D和H去計y’


ax’^2 + c = y’ ... (1)

-1/(2y’)x’^2 + c = y’ [使用(3)]
-1/(2y’)(r^2 - y’^2) + c = y’ [使用(1)]
1/(2y’)(y’^2 - r^2) + c = y’
y’^2 - r^2 + 2cy’ = 2y’^2
y’ - 2cy’ + r^2 = 0

y’ = [2c +/- sqrt(4c^2 - 4r^2)]/2
= c +/- sqrt(c^2 - r^2)

這裏我們要選0 < y’ < r，因c > r, 所以必然選少一點的數值。
再計x’ = r^2 - y’^2
放進答案就可以。

Summary:
r = D/2
c = H - D/2
y’ = c - sqrt(c^2 - r^2)
x’ = r^2 - y’^2

答案
y = [-1/(2y’)]x^2 + [x’^2/(2y’)+y’]

回阿一，When x = -D/2 or x = +D/2, y = 0對於拋物線是錯的.
回盒仔茶，因為有可能在圓裏有一條扁長的拋物線也會使y’一樣。

2007-05-16 22:46:04 補充：
有點無奈，只是有點懶和不想使答案的式太長而已，咁就冇左最佳答案。

When x = 0, y = H - D/2
When x = -D/2 or x = +D/2, y = 0

Let y = a(x - b)2 + c
Substitute the above facts into this equation
c = H - D/2
a(-D/2 - b)2 = D/2 - H
a(D/2 - b)2 = D/2 - H

Dividing them,

(-D/2 - b)2 = (D/2 - b)2
(D/2 + b)2 = (D/2 - b)2
bD = -bD
2bD = 0
b = 0
a = 4(D/2 - H)/D2

i.e. the equation is y = 4(D/2 - H)x2/D2 + H - D/2