有趣數學題

設 正六邊形 = ABCDEF

設 P = AB上的某一點, 劃一條和 BC 平衡的線, 這線和 CD 相交那點為 Q. 又從 Q 點劃一條和 PQ 互相垂直的線, 這線和 DE 相交那點為 R. 也類似地從 P 點劃線到 AF 得出交點 S. 顯然, PQ = RS, PS = QR.

當 PQ = QR, 便得出最大的正方形. 下一步是計算出 PQ / QR.

把 B 和 F 連起來, 且從 A 劃一條和 BC 平衡的線到 BF, 得出交點 W.

角ABW + 角CBW(直角) = 角ABC = 120度 => 角ABW = 30度

BW = cos30 = √3/2
AW = sin30 = 1/2

設 X = PQ 和 BW 的交點, 不難証明 三角形ABW ~ 三角形 PBX, 因此:

BX / PX = BW / AW = √3

PQ = BC + 2PX = 1 + 2PX
PS = BF - 2BX = 2BW - 2BX = √3 - 2√3PX

PQ = PS = 1 + 2PX = √3 - 2√3PX
PX = (√3 - 1) / (2 + 2√3)
= (√3 - 1)(2 - 2√3) / (2 + 2√3)(2 - 2√3)
= 1 - √3/2

Area = (1 + 2(1 - √3/2))^2
= (3 - √3)^2
= 12 - 6√3 (ANS)

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The Little Prince of Mathematics: 那不是正方形 (三角形的夾角不是 15度 和 45 度)

I think it is 1

I think it is 1.75.

http://hk.geocities.com/johnng19880522/answer01.JPG

Length of the square = sqrt(1^2+0.5^2-2(1)(0.5)cos120)
Area = Length^2 = 1.75

正方形的最大面積為0.5