【40分】何謂「第一次數學危機」???

畢達哥拉斯（約公元前569至500年）證明了畢氏定理，屠宰一百隻牛慶祝，因此畢氏定理又稱「百牛定理」。另外，當時大家相信任何物件都是由不可分割的原子組成，畢達哥拉斯因此提出，任何兩條線段的比皆可用兩個整數的比來表示（我們稱為「有理數」），這亦是公認的信念。後來他的弟子希伯斯指出，對於兩條鄰邊長度為１（個單位）的直角三角形，鄰邊和斜邊的比不能由整數和整數的比表示，違反了整個數學界的信念，這就是史上第一次數學危機。希伯斯結果被處死了，但畢達哥拉斯最後亦不得不承認「無理數」的存在。直至二千後，才有人用「有理數」來定義「無理數」。

歷史背景
畢達哥拉斯（約公元前572年——公元前492年）是一位古希臘的數學家及哲學家，他曾有一句名言「凡物皆數」，意思是萬物的本原是數，數的規律統治萬物。不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比——分數，簡單而言，他們所認識的只是「有理數」。

有趣的有理數
當時的人只有「有理數」的觀念是絕不奇怪的。對於整數，在數線上我們可以知道是一點點分散的，而且點與點之間的距離是一，那就是說，整數不能完全填滿整條數線，但有理數則不同了，我們發現任何兩個有理數之間，必定有另一個有理數存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「有理數」可以完全填滿整條數線，「有理數」就是等於一切數，可惜這個想法是錯的。

畢氏定理、畢氏鐵拳
畢達哥拉斯發現了現時眾所周知的畢氏定理（其實中國於公元前一千一百年已有此定理），從這個定理中，畢達哥拉斯發現了一件不可思議的事，就是腰長為１的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理數的數。亦即是說有理數並非一切數，存在有理數以外的數，有理數不可以完全填滿整條數線，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當時的數學界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的「第一次數學危機」。

新的一頁
原來「第一次數學危機」是「無理數」的發現，不過它還說出了「有理數」的不完備性，亦即有理數不可以完全填滿整條數線，在有理數之間還有罅隙，無疑這些都是可被證明的事實，是不能否定的。面對著事實，數學家展開廣闊的胸襟，把「無理數」引入數學的大家庭，令數學更豐富更完備，加添了無理數，數線終於被填滿了。