圓周率是多少?

圓周率

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手寫體寫的 π
圓周率，一般以 π 來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。
在分析學上, π 可以嚴格地定義為滿足 sin(x) = 0 的最小正實數 x, 這裡的 sin 是正弦函數（採用分析學的定義）。
常用 π 的 十進位 近似值為 3.1415926, 另外還有由 祖沖之 給出的疏率：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/c/29cde9f6ad7ad117be486b19047272bd.png
。


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如果一個圓的直徑是 1, 它的圓周便是 π





目錄[隐藏]

1 π 的計算及歷史

1.1 實驗時期
1.2 幾何法時期——反覆割圓
1.3 分析法時期——無窮級數
1.4 計算器時代
1.5 年表
2 π的特性和相關方程

2.1 代數
2.2 數學分析
2.3 數論
2.4 機率論
2.5 動態系統 / 遍歷理論
2.6 物理學
2.7 統計學
3 尚待解決的問題
4 圓周率的值
5 文化

5.1 背誦π的位數
6 π在數學外的用途
7 參見
8 外部連接



[編輯] π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或
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　則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。

[編輯] 實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率的超過十分位的近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米德之前，π值之測定倚靠實物測量。

[編輯] 幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎
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之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。

[編輯] 分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/1/5/f15dc3d39c473c4bd718e3a98145da0d.png

其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方法稱為「類Machin演算法」。

[編輯] 計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre演算法或 Borweins演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/2/4/524a01f928a2eddfb2d141f7d0089dd6.png
(K. Takano, 1982年)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/0/e/20eeb32761f5204b35a62f50d7d1b2f5.png
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/9/7/f9733b62958be8751fbab97431c27af5.png

以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。此類π演算法稱為Bailey-Borwein-Plouffe演算法。請參考 Bailey's website 上相關程序。
Fabrice Bellard於1997年給出了計算機效率上高出上式47%的BBP演算法：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/c/3/2c39b196c4eb238086f391bdc6acef7b.png

其它計算圓周率的方法包括：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/7/e/77e9fac37840591d2aea360317141f34.png
(Ramanujan)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/c/8/dc88cec756645fb4751542454081ac6d.png
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/4/c/a4c0af1aa84f3fa7230a1fc372acc7cf.png
[1]

圓周率=22/7

圓周率 = 圓形的周長
圓形的直徑

符號π是第十六個希臘字母，到1706年才開始以它代表圓周率的。

π = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971
6939937510 5820974944 5923078164 0628620899
8628034825 3421170679 8214808651 3282306647
0938446095 5058223172 5359408128 4811174502
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489
5493038196 4428810975 6659334461 2847564823
3786783165 2712019091 4564856692 3460348610
4543266482 1339360726 0249141273 7245870066
0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951
9415116094 3305727036 5759591953 0921861173
8193261179 3105118548 0744623799 6274956735
1885752724 8912279381 8301194912 9833673362
4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846
7669405132 0005681271 4526356082 7785771342
7577896091 7363717872 1468440901 2249534301
4654958537 1050792279 6892589235 4201995611
2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328
1609631859 5024459455 3469083026 4252230825
3344685035 2619311881 7101000313 7838752886
5875332083 8142061717 7669147303 5982534904
2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909


2000 B.C. π = 3 1/8 = (3.125) 巴比倫人
. π = 256/81 = (3.16) 埃及人
1100 B.C. π = 3 中國人
263 A.D. π = 157/50 = (3.14) 劉徽
450 A.D. π = 355/113 = (3.1415929) 祖沖之