maths question(0)

LeonaCHoco

2007-04-29 12:17 am

要製一個體積為V的有蓋圓柱容器，
問高h與底面半徑r取何值時，所用的材料最少。
THX.

更新1:

我想你誤會了題目的意思，題目是問h和r各取甚麼值，即h和r都是未知數，而己知條件只有圓柱的體積V。

更新2:

sorry，你已給出了答案，是我搞錯，謝謝解答。

回答 (1)

myisland8132

2007-04-29 1:39 am

✔ 最佳答案

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Cylinder_%28geometry%29.png

對於給定的體積，最小表面積的圓柱滿足h = 2r。

證明:
體積V固定﹐設總面積是A
V=πr^2h
h=V/πr^2
A=2πr^2+2πrh
=2πr^2+2πr(V/πr^2)
=2πr^2+2V/r
對r取微分
dA/dr=4πr-2V/r^2...(1)

令dA/dr=0
4πr-2V/r^2=0
4πr=2V/r^2
πr^3=V/2
r=[(V/2π)]^(1/3)
h
=V/πr^2
=V/[π(V/2π)^(2/3)]
=2^(2/3)V^(1/3)/π^(1/3)

=2r
所以只要當h=2r時﹐圓柱體所用的材料最小。

參考: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%86%E6%9F%B1%E4%BD%93

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