maths question(0)

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Cylinder_%28geometry%29.png


對於給定的體積，最小表面積的圓柱滿足h = 2r。

證明:
體積V固定﹐設總面積是A
V=πr^2h
h=V/πr^2
A=2πr^2+2πrh
=2πr^2+2πr(V/πr^2)
=2πr^2+2V/r
對r取微分
dA/dr=4πr-2V/r^2...(1)

令dA/dr=0
4πr-2V/r^2=0
4πr=2V/r^2
πr^3=V/2
r=[(V/2π)]^(1/3)
h
=V/πr^2
=V/[π(V/2π)^(2/3)]
=2^(2/3)V^(1/3)/π^(1/3)

=2r
所以只要當h=2r時﹐圓柱體所用的材料最小。