咩係微積分?

微積分學
微積分學是研究函數的導數和積分的性質、運算和應用的一個數學分支。


微積分思想的萌芽可以追溯到古希臘時代。公元前5世紀，德謨克利特創立原子論，把物體看成由大量的不可分割的微小部份﹝稱為原子﹞疊合而成，從而求得物體體積。公元前4世紀，歐多克索斯建立了確定面積和體積的新方法──窮竭法，從中可以清楚地看出無窮小分析的原理。阿基米德成功地把窮竭法、原子論思想和槓杆原理結合起來，求出拋物線弓形面積和回轉錐線體的體積，他的種種方法都孕育了近代積分學的思想。


在古代中國，《莊子‧天下篇》記載的「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。以及劉徽所創的割圓術，用圓內接正多邊形與圓接近，謂「割之彌細，所失彌少。割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣」，都包含著極限和積分概念的萌芽。9-15世紀，中東和近東的學者們在研究古希臘著作的基礎上，也建立了某些計算體積的方法。


到了17世紀，解析幾何的創立成為數學發展的轉折點。自然科學研究的中心問題轉向自然界的運動和變化。在數學中自然而然地引入了變量與函數的概念。微積分的出現，最初是為了處理人們所關注的幾類典型的科學問題。計算曲線所圍的面積、曲面所圍成的體積、曲線長、物體的重心等問題是積分學的典型問題；研究物體運動的瞬時速度、曲線的切線、函數的極值等問題是微分學的典型問題。


事實上，17世紀早期不少數學家在微積分學的問題上做了大量的工作，但只停留在某些具體問題的細節之中，他們缺乏對這門科學的普遍性和一般性的認識。微積分學的最終創立要歸功於英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲。


據牛頓自述，他於1665年11月發明流數﹝微分﹞法，次年5月創反流數﹝積分﹞法，但他當時只是以手稿形式在朋友中傳播自己的發現。牛頓微積分思想的發展大體可分為四個階段：流數論的初建，向幾何不可分量觀點的搖擺，成熟的流數法，首末比的提法與改進。


1669年，牛頓完成了他的第一篇微積分論文《運用無窮多項方程的分析學》。該文中，他稱變量的無窮小增量為「瞬」，給出了求一個變量﹝關於時間的﹞瞬時變化率的普遍方法，並且証明了面積可以由求變化率的逆過程得到。這一事實就是我們現在所謂的微積分學基本定理。


牛頓關於微積分的基本論文完成後，經過很長時間才發表出來。他的第一本包括流數法的書是發表於1687年的巨著《自然哲學的數學原理》。但在3年前，即1684年，萊布尼茲就發表了他的第一篇微分學論文，他與牛頓共享創立微積分學的榮譽。


萊布尼茲是歷史上最大的符號學家之一，他所創立的微積分符號對微積分的傳播和發展產生了很大的影響，並且一直沿用至今。


牛頓稱微積分為流數法﹝Fluxions﹞，這個名稱後來被逐漸淘汰。萊布尼茲使用「差的計算」﹝Calculus Differentialis﹞與「求和運算」﹝Calculus Summatorius﹞的術語。「差的計算」後來變成專門術語「微分學」﹝Differential Calculus﹞。萊布尼茲的朋友，瑞士數學家約翰‧伯努利主張把「求和運算」改為「求整運算」，它就成為專門術語「積分學」﹝Integral Calculus﹞的來源。兩者合起來叫微積分學，英文裏簡稱為「Calculus」。


我國第一本微積分學的漢譯本，是李善蘭和偉烈亞力合譯的《代微積拾級》十八卷，1859年在上海墨海書館發行。原書是羅密士﹝今譯盧米斯﹞著的《Analytical Geometry and Calculus》﹝1850﹞。譯名中的「代」指「Analytical Geometry」，「微積」指「Calculus」。序中說：「我國康熙時，西國來本之﹝今譯萊布尼茲﹞，奈端﹝今譯牛頓﹞二家又創微分、積分二術，……其理大要：凡線面體皆設為由小漸大，一剎那中所增之積即微分也。其全積即積分也」。這就是我國微積分名稱的由來。