介紹一些數學家的資料

阿基米德 (Archimedes, 約公元前287 - 公元前212)，生於希臘的敘拉古，父親是位天文學家。阿基米德從小就受到良好的教育，年青時曾赴亞歷山大學習數學。
佢既故事:
有一次，敘拉古的亥厄洛國王叫金匠製造一頂純金的皇冠，卻懷疑金匠隱匿了其中一些金子。金匠矢口否認，而且證實皇冠的重量與國王所給金子重量相等。國王一時束手無策，便請阿基米德幫忙。

阿基米德日思夜想著解決的方法。他知道即使不同質料的重量相同，其體積是不一樣的，所以可從皇冠的體積，來鑑定皇冠是否由純金所製成，但卻苦無求得皇冠體積的方法。

一次，阿基米德在浴盆洗澡時，看到水從盤中徐徐流出，因而悟到可以用排水法來求出皇冠的體積。若把皇冠放入盛滿水的盤中，所排出的水的體積，便是皇冠的體積了。就這樣，阿基米德為國王解決了這個疑難，證明金匠的確在皇冠中摻入了白銀。
祖沖之(429-500)
他利用割圓術求得圓內接二四五七六邊形的周長，從而推算出圓周率的值是在3.1415926和3.1415927之間。而且他采用22/7作為約率，355/113作為密率。這些結果都比西方早超過數個世紀。要知道當時只有算籌這種計算工具，計算工作是很繁重的。由於他不畏艱苦，有堅強的毅力才能獲得這光輝的成果。

祖沖之為了求圓周率小數後的第七位準確值，把正六邊形的邊長計算到小數後二萬八千六百七十二位，是很了不起的成就。這當中有三點值得我們注意的，

他是自己做的，因為開平方不能你求小數後第一位到第八位，同時間，有另外一人求第九位到第十六位，.......
目前使用的算盤到了十二世紀才出現，祖沖之那個時代還沒有算盤，可見其開平方的艱辛。
祖沖之不可能使用阿拉伯數字，阿拉伯數字在十二、十三世紀才傳入中國，可以想像其計數之麻煩。
祖沖之不單是個數學家，還是天文學家、文學家、機械發明家。在天文方面，他提出了當時最好的歷法「大明曆」，而且還算出地球繞太陽一周所需的時間是365.24281481日，和現在由製儀器得到的數據365.2422日，他的數字準確到小數後三個。他也曾算出月球繞地球一周為27.21223日，和現在公認的27.21222日，在小數第五位才有1的誤差，一千多年前他這個成果是值得我們驕傲的。他還發明了指南車、水碓磨與千里船等，還成功製造了類似諸葛孔明的「木牛流馬」的運輸工具，從中見到祖沖之是如何的聰明。

Einstein, Albert
愛因斯坦

愛因斯坦，猶太人，1879年生於德國。17歲入瑞士蘇黎世聯邦工業大學（簡稱 ETH）。大學四年，他把大部分的時間花在探索科學，做實驗和研讀科學和哲學中偉大先驅人物的著作。他的主要興趣在物理，但卻對物理課程失望；尤其是物理教授 H. Weber，在 Weber 的課中學不到 Maxwell 的電磁理論，以致於當 Weber 在1912年去世時，愛因斯坦竟對友人表示「Weber 的死，對 ETH 是件好事。」

雖然如此，愛因斯坦卻讚賞 Hurwitz 和 Minkowski 兩位傑出的數學老師。不過由於對自然科學的興趣超過數學，並且覺得數學分成許多過份專門的領域，而不想在這樣專精的領域中耗去一生。

1905年，提出三篇畫時代的論文：光量子假說、布朗運動，和狹義相對論。並且向蘇黎世大學提出博士論文，他當時任職於伯恩的專利局，這個工作是他大學時代的好友數學家 M. Grossman 幫忙找的。愛因斯坦將博士論文獻給 M. Grossman，不只是因為他們的友誼，還加上 Grossman 對他的「救命之恩」。

1913年發表與 Grossman 合著的論文〈廣義相對論和引力理論綱要〉，在1922年的京都演說中，愛因斯坦回憶起這個工作，他說


如果所有的系統都是等價的，那麼歐氏幾何就無法全然成立。但是捨幾何而就物理，就好像失語的思考。我們在表達思想之前必須先找到語言，……。我突然發現高斯的曲面論正是解開這個奧秘的鑰匙……，但我不知黎曼已經深刻地研究了幾何的基礎。
當時愛因斯坦找 Grossman 幫忙到圖書館查閱是否有一種幾何可以處理愛因斯坦思索的問題，Grossman 第二天就回話給他，說確有如此的幾何──黎曼幾何。

黎曼雖然早在1854年就提出了他對微分幾何的看法，但是一直要到愛因斯坦把微分幾何引進廣義相對論作為數學工具以後，才廣為發展。愛氏本人雖然並未直接證明任何微分幾何的定理。但是當他發現在思索廣義相對論的數學語言時，竟然在半個世紀前就有黎曼的微分幾何架構在等著他，他不得不說出


……純粹數學的建構可以使我們發現觀念和它們之間聯繫的法則，開啟我們對自然現象的理解……
如此這般對純數學的溢美之辭。

1922年11月10日，瑞典科學院秘書在一封電報中告訴愛因斯坦「……因為你在理論物理的工作，特別是你發現了光電效應的法則，決定將去年（1921）的諾貝爾物理獎頒贈予你，但不考慮你的相對論和重力理論……」

為何暫不考慮？主要是在當時有一些物理學家還無法接受愛因斯坦的相對論，因此有人提出以光電效應來給獎，但即使如此，仍然可以說得上實至名歸。

1933年普林斯頓高等研究所聘請愛因斯坦擔任數學所的教授，其餘五位是 Alexander、Morse、Von Neumann、Weyl 和 Veblen。

1935年與 Podolsky 和 Rosen 合作發表挑戰哥本哈根學派的論文宣稱量子力學對實在的描述是不完備的。

1939年愛因斯坦寫信給美國羅斯福總統要求發展原子武器，防止德國搶先製造原子彈，但是他的基本態度是反戰的，只是在面臨到納粹對人類造成的浩劫時，基於他對德國科技的了解，不得不爾。戰後他仍然得面對麥卡錫法西斯份子的威脅，1954年3月被麥卡錫公開斥責為「美國的敵人」。11月愛因斯坦在《記者》雜誌上發表聲明，不願在美國當科學家，而寧願做一個水電工或是小販，為在麥卡錫主義陰影下的知識份子抗議，而美國水電業工會也決議贈給愛因斯坦榮譽會員的名義。

1955年4月18日去世，在追思禮拜中，以歌德的悼席勒詩向他致敬，其中的一句是「全世界都感謝他的教誨」。

（本文取材自 1. Pais，《The science and the life of Albert Einstein》。 2.《紀念愛因斯坦文集》凡異出版社）



Euclid of Alexandria
歐基里得

Euclid（約 -330 ～ -260），希臘數學家，《原本》的編著者，其公理化的呈現方式，深深影響了數學的發展。


亞歷山大大帝在西元前323年死於征途後，帝國分崩，埃及部分落入大將軍 Ptolemy I（天文學家 Ptolemy 與其同名，但無血緣關係）手中。Ptolemy 於西元前306年開始在尼羅河口建立亞歷山大城，設置圖書館及書院，從各方面招請學者，使亞歷山大代替了雅典，成為希臘文化中心。Euclid 就是由 Ptolemy 請到亞歷山大書院主持數學教程的。他為了書院有數學課本，於是把已知的初等數學編成十三卷的《原本》。


Euclid 在《原本》中，便用五種邏輯用法，從五個公理推演出465個定理，內容含蓋我們熟知的平面幾何，此外還討論了幾何式代數、比例論、數論及立體幾何。後人呈現數學大多師法這種公理化的方法。


Euclid 的《原本》經由幾個後人的評註版本，衍生出許多歐文（及其他語文）的譯本。由於讀書人大都研習幾何學，《原本》就成為歷來版本最多、行銷最廣、最具影響力的教科書。現在的幾何課本雖然採用這些譯本，但內容大致還是以《原本》的前六卷為規範的。利瑪竇與徐光啟就是把前六卷譯成中文的《幾何原本》


有人把 Euclid 與《原本》看成平面幾何的同意字，其實除了《原本》，Euclid 還寫過大約一打的書本，內容遍及光學、天文、音樂、錐線等領域。與其名氣正好相反，Euclid 的生平卻隱沒不詳，惟一可以確定的事，他在亞歷山大城著書立說，傳道授業，而以「亞歷山大的 Euclid」聞名。


五世紀的《原本》著名評者 Proclus 曾說，有一次 Ptolemy 向 Euclid 說：「欲得幾何知識，是否有比研讀《原本》更便捷的途徑？」Euclid 答道：「學幾何無王者之路！」


Eudoxus of Cnidus
優得塞司

Eudoxus（約-408～-355年），希臘天文學家及數學家，以同心球理論呈現行星的複雜運動，以窮盡法研究面積與體積，創比例論解決不可共度的問題，使希臘的數學完全轉向幾何。


Eudoxus 生於小亞細亞愛琴海岸的 Cnidus。長大後到雅典柏拉圖學院求學。由於家貧，只能找到雅典外港 Piraeus 較便宜的住家，每天上學來回共要走16公里路。畢業後，他到埃及再學天文，然後轉往比家鄉更北的海岸地方 Cyzicus，建立自己的學院。


柏拉圖從美學的觀點認定行星軌道一定是個完美的圓，但實際的觀察又不完全如此。Eudoxus 提出同心球理論來拯救老師柏拉圖的觀點：對太陽系的每個星球而言，都有三個或四個想像中的同心球（這種同心球指的都是球面）與之相應，他們各繞一不同的轉軸作等速運動，但都是以地球（想成一點）為其共同的中心點。這個星球（想成一點）在最裏層同心球（相對於轉軸）的赤道上，最裏層同心球的轉軸延伸而附著於第二裏層的同心球上，因此第二同心球的轉動影響第一轉軸，也因此影響該星球的運動；同樣地，第二轉軸附著在第三同心球上……。Eudoxus 對每一行星選擇適當大小的同心球，轉軸及旋轉速度，就可以呈現該行星的實際運動。如此，完美的圓還是佔著理論的中心地位。


Eudoxus 認為圓可視為其內接正多邊形的極限，而兩圓同邊數之內接正多邊形的面積比等於半徑平方比，因此做為極限的兩圓，其面積比也要等於半徑平方比。而圓之視為其內接正多邊形的極限是說，圓與內接正多邊形之間的面積差，會隨著邊數的一再倍增，而一再縮減一半以上。這樣的觀點就是典型的窮盡法。用窮盡法，Eudoxus 也證明了柱與同底等高之錐兩者的體積比為 3：1。Eudoxus 之後，像 Archimedes 等希臘數學家也用窮盡法研究面積與體積。


在 Eudoxus 之前的畢氏學派認為任何兩長度都是可共度的，亦即兩者相比是個有理數。然而 的出現（等腰直角三角形斜邊與一邊之比），使幾何上的比例問題成了難題，成了禁忌，希臘的數學產生了危機。


比例論的目的在探討兩個比例的大小或相等關係。比例論相當複雜，不過用現代的語言來說，大略如下：兩比例之不相等，與「兩者之間必夾有有理數」是相當的；相等，則與「兩者要同大（或同小）於任一給定的有理數」是相當的。


比例論出現後，重為幾何安下基石；不但如此，幾何學反過來可用以表示數及解釋其間的關係，如 Euclid《原本》第二卷的幾何式代數，以及第七卷到第九卷的數論（第五卷為比例論本身）。可以說，Eudoxus 以後，幾何學變成西方數學的主流，其後再經 Euclid 的整理，更成為西方數學的傳統。


比例論雖然解決了不可共度的問題，但卻不承認兩量之比是個數。希臘的數學家一直缺乏對無理數有確切的認識，以及明快的處理，因此，在數與代數方面是有缺陷的。




仲有好多．．．．