sin2次,cos2次,tan2次

-1≦sin θ≦1
1≦sin²θ≦1

因為 (sin²θ) = (sinθ)²
所以將不等式的左加兩邊都 square 左佢
所以 sin²θ≦1，又因為兩次方既數唔會細過 0（唔計 complex numbers），所以 0≦sin²θ≦1





同樣地
-1≦cosθ ≦ 1
因為 (cos²θ) = (cosθ)²
所以將不等式的左加兩邊都 square 左佢
所以 cos²θ≦1，又因為兩次方既數唔會細過 0（唔計 complex numbers），所以 0≦cos²θ≦1




而 -∞ ＜tanθ ＜+∞
(-∞)² ＜ tan²θ ＜ (+∞)²
所以最大值趨向正無限（唔好加個等號，因為無限大係 undefined 的，唔用得等號）
又因為兩次方既數唔會細過 0， 0 ＜ tan²θ ＜ ∞ (∞ 的二次都係無限)

設θ的對邊為a，θ的鄰邊為b，斜邊為c，
sin2次=(a^2)/(c^2)
∵a^2+b^2=c^2(畢氏定理)及a^2＞0
∴0＜a^2＜c^2
∴0＜(a^2)/(c^2)＜1，即0＜sin2次＜1

同理，cos2次=(b^2)/(c^2)
∵a^2+b^2=c^2(畢氏定理)及b^2＞0
∴0＜b^2＜c^2
∴0＜(b^2)/(c^2)＜1，即0＜cos2次＜1

tan2次=(a^2)/(b^2)
∵0＜(a^2)及(b^2)＜∞
∴0＜(a^2)/(b^2)＜∞，即0＜tan2次＜∞

PS：畫圖會更清楚

2007-04-25 18:47:06 補充：
a^2＞0及b^2＞0是因為a及b一定是正數(虛擬三角形除外)

2007-04-26 17:49:41 補充：
另一個方法：利用三角函數圖像http://www.math.ncu.edu.tw/~shann/Teach/calc_01/08/arcfun.html這個網頁中間有六個圖像，左邊三個就是sin，cos，tan的圖像。由這些圖像，可看出sin和cos都界乎於-1與1之間，∴sin2次和cos2次的最大值為1，最小值為0。而tan則界乎於 ∞與-∞之間，∴tan2次的最大值為 ∞，最小值為0。

2007-04-27 17:06:10 補充：
第一個補充中提到的虛擬三角形是指含有負邊長或負角的三角形

已知 -1≦sinθ ≦ 1 , 所以, 0 ≦sin²θ ≦ 1 最小值是 0, 最大值是 1.
同樣 -1≦cosθ ≦ 1 , 所以, 0 ≦cos²θ ≦ 1 最小值是 0, 最大值是 1.

最後 -∞ ≦tanθ ≦+∞ , 所以, 0 ≦tan²θ ≦ +∞ 最小值是 0, 最大值是 +∞.

SIN^2 > 0 to 1
COS^2 > 0 to 1
Tan ^2 > 0 to 無限大