f4,,a-maths微分應用

一實心直立圓柱的長度為e米,底半徑為r米,其長度及橫截面周界的和為2米。
a.求圓柱體積的極大值。
依題意
e + 2 π r = 2
e = 2 - 2 π r
它的體積 V 為
V = e (π r2)
V = (2 - 2 π r)(π r2)
V = 2π r2 - 2 π2 r3
dV / dr = 4π r - 6π2 r2
因有極大值，所以
dV / dr = 0
4π r - 6π2 r2 = 0
r = 2/(3π)
V 的極大值為
V = 2π r2 - 2 π2 r3
V = 2π (2/(3π))2 - 2 π2 (2/(3π))3
V = 8/(27π)

b.設圓柱的總表面面積為S平方米
i.以r表S
總面積 = 上下兩底面積 + 側面積
S = 2π r2 + 2π r e
S = 2π r2 + 2π r (2 - 2 π r)
S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2

ii,求r的值,使S為極大
S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2
dS / dr = 4π r + 4π - 8π2 r
因有極有值所以
dS / dr = 0
4π r + 4π - 8π2 r = 0
r = 1 / (2π – 1)
r = 0.189時 S 為極值


iii.設0.15≦ r ≦ 0.25
求r值的範圍,使S值
因 r = 0.189 時 S 為極大值
i.遞增
若以 0.15 ≦ r ≦ 1 / (2π – 1) 時為遞增
ii.遞減
若以1 / (2π – 1) ≦ r ≦ 0.25 時為遞減
由此求S的最小值
當 r = 0.15
S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2
S = 2π (0.15)2 + 4π (0.15) - 4 π2 (0.15)2
S = 1.138
當 r = 0.25
S = 2π (0.25)2 + 4π (0.25) - 4 π2 (0.25)2
S = 1.067
所以在0.15≦ r ≦ 0.25 的範圍內
S 的最小值為當 r = 0.25
Smin = 1.067