數學經常說先乘除,后加減 是否正確?

在四則混算裡, 小括號比中括號優先；若沒有括號則需先算乘方, 再算乘除, 後算加減等等規則, 是一種約定。有了這些約定, 同一條式子計算出來的答案才會相同, 不會有這幫人用規則A得一個答案, 另一幫人用規則B然後得出截然不同的答案。

至於為什麼要先乘除, 而不從一開始就規定先加減, 或先加乘等等, 其實與加減乘除的概念和哪一種較方便有關。

先來看看台大數學系朱建正教授所言：

在合併式中，如果事先約好一種優先順序，也可以節省括號。「先乘除後加減」是一種有良好效果的約定。因為加減是對同等類量執行的，乘除時，乘數和除數是對被乘數和被除數加以操作時的作用數，作用結束後，即可用加減加以處理。例如上超市買東西，每種東西有單價及數量，先將單價乘以數量再加起來，就是總價。這就是「線性代數」中所講的「線性組合」，再來就是「多項式」。線性組合和多項式這兩種代數式能以目前這種面貌出現，全拜先乘除後加減的約定之賜。(from www.bud.org.tw/answer/9912/991274.htm)

上文所指同等類量, 即表示各加數應屬於同一類型的物件。例如：現有2個盒, 分別盛有6隻和4隻雞旦。
列式計算蛋的總數：6隻+4隻=10隻;
你不會這樣算：2盒旦+4隻=6隻 或 =6盒；因為這條式中各「加數」與「和」的名數不統一, 2表示盒, 4表示隻, 非但單位不同, 一個是盒, 一個是蛋, 乃兩類不同的物件。
減數同理。

至於乘除。
首先, 乘除其實是加減的簡約式(同理, 乘方是乘的簡寫式)：
如果我有4個$2, 用加數計算總額是：$2+$2+$2+$2=$8
乘式則能以較短的方法顯示同一種運算：$2x4 = $8 (指將$2相加4次, 與加式同義)
乘數4對於被乘數$2來說, 起了一個作用, 代表2相加的次數, 而不是多少錢或多少隻、多少盒等。
除法亦然。

因有正負數的概念, 故先加後減還是先減後加對最終答案沒有影響, 同理, 先乘後除還是先除後乘均對答案沒有影響。故加減為一組、乘除為一組。
但是, 乘除與加減需分開運算。因為乘除式中的「乘數」及「除數」與加減式中的各項非同等類量, 故必需先將其變成同等類(即計算「積」及「商」)才能進行加減。

用朱教授超市買東西的例子, 若我買1塊$3的橡皮擦, 4枝$2的鉛筆, 計算總價錢：
用加式, $3+$2+$2+$2+$2=$11, 留意所有數字都是指金額, 為同等類量；
用乘式混合加式, $2x4+$3, 4代表需將$2加4次, 4與$3為非同等類量, 不能相加。

上文說明加減與乘除需分先後, 但為什麼是先乘除而非先加減呢？這只是方便與否的問題, 由於先乘除與我們日常生活的應用與思維較相似及方便, 故採用之。

試想想我們往買東西的習慣, 在未有全電腦化收銀系統前或需要心算的時刻, 我們會將同一種類/價錢的貨物先作分類, 計算分類小計金額, 然後再相加得出總金額。就好像我們去吃迴轉壽司時, 若想計算價錢, 待應不是會把相同顏色的碟的數量算好, 乘以價錢, 然後才相加的嗎？

哪條式較簡便？
約定先乘除：
$9x12+$15x3+$18x2+$35x2=$108+$45+$36+$70=$259

若約定先加減, 則需加小括號, 式子變為：
($9x12)+($15x3)+($18x2)+($35x2)=$108+$45+$36+$70=$259

從上例看出, 先乘除的約定有利於我們日常生活的使用。
但當然, 在某些情況下(見下例)先乘除可能反而會令式子累贅, 但針無兩頭利, 我們只能採取較接近生活思維的一種, 而捨棄特殊的例子。

若我們吃迴轉壽司時, 各種顏色的碟分別吃了3碟, 總收費：
約定先乘除, 每種顏色先算小計：
$9x3+$12x3+$15x3+$18x3+$20x3+$25x3+$35x3
=$27+$36+$45+$54+$60+$75+$105=$402

約定先加減, 將各種價錢小計, 再乘碟數3：
($9+$12+$15+$18+$20+$25+$35)x3
=$134x3=$402

2007-04-24 16:21:58 補充：
【先乘除,后加減】 正確 或 【先乘或除,后加或減】 正確 我睇唔出有咩分別，意思都是一樣的。所以２條都是正確

是正確的.一定

唔想講咁多野要你睇到咁煩,,比個例子你喇
等你睇得快而明=]
當 10+2乘5 應該係= 20
但你唔理先乘除後加減你會得出::100<---咁就係錯架喇

所以所有係數既都要先乘除後加減

【先乘除,后加減】=【先乘或除,后加或減】，但我覺得【先乘或除,后加或減】不順口。

兩條都正確！！！

正確正確,

數學經常應用到,

你一定要記住!

2007-04-22 21:08:33 補充：
【先乘除,后加減】 =【先乘或除,后加或減】 兩條意思一樣!

數學經常說先乘除,后加減 是否正確?


先 乘 或 除,后 加 或 減

是正確