1+1+1+... = -1+1-1+... ?

1+1+1+... 在高等數學中是有定義的, 他是 Zeta(0) = -1/2
而 Zeta(0) 只不過是Zeta(n) 的Analytic continuation, 即是說, 從 Zeta (x) 找出的一個和 Zeta(x) 泯合的 holomorphic function. 他的本質已經和1+1+1+... 差得很遠了.

但 -1+1-1+1-... 是冇定義的, 因為這是一個 conditional divergent alternating series, 因此他有無限個值: 每一種不同的加法都有機會給出不同的 value (rearrangement theorem)
(-1+1)+(-1+1)+(-1+1) + ... = 0+0+0+... = 0
-1 +(1-1)+(1-1)+(1-1)+ ... = -1 + 0 + 0 + ... = -1
-1 +1 + 1 - 1 +1+1 - 1+1+1 = 1+1+1+1... = oo
(-1 + 1) (- 1 +1 +1) -1 + 1 -1 ... = 0+1+0+0+0... = 1
etc...

要注意, 一般的 Let x=-1+1-1+1.... =>x+1 = -x 當 series diverge 時是錯誤的.

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